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双曲线的几何性质教案
 
教学目标
、推导、并初步掌握双曲线的基本性质.
,培养学生运用数形结合的思想,用联想、类比、归纳的方法,提高解决问题的能力.
教学重点与难点
双曲线的渐近线既是重点也是难点.
教学过程
师:,研究双曲线的几何性质.
请同学们对比椭圆性质的讨论,谈谈这一问题.
生:双曲线也应有范围、对称性、顶点、离心率的问题.
师:好!那么请同学们动手做.
(目的是让学生产生联想椭圆时的情景,用类比方法推导双曲线范围,……联想和类比也是数学中非常重要的思维方法.)
师:这个结果说明了什么?
(这时写板书::x≥a或x≤-a,y∈R)
生:双曲线在两条平行直线x=±a的两侧,而在两条平行线x=±a之间没有图象.
生:同理双曲线的范围是:y≥a或y≤-a,x∈R.
生:在标准方程中,把x换成-x,或把y换成-y,或把x,y同时换成-x,-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴和原点都是对称的.
师:很好,这说明坐标轴是双曲线的对称轴,.
(板书::双曲线的对称轴是x轴、y轴,原点是它的对称中心.)
请大家回忆一下什么叫做曲线的顶点.
生:曲线与它的对称轴的交点叫做曲线的顶点.
师:那么咱们一起来判断一下,双曲线有几个顶点?顶点的坐标是什么?
这说明双曲线有两个顶点,A1(-a,0),A2(a,0).
师:不错,但大家要注意,一般曲线的顶点不一定在坐标轴上,而
轴上的两个特殊点B1(0,-b),B2(0,b)可看作双曲线与y轴的两个虚交点(这个问题待同学们学****复数之后将可以作出解释).,所以虚轴|B1B2|的长为2b.
(板书::A1(-a,0)、A2(a,0),称A1A2为实轴,B1B2
的实轴长与虚轴长相等,称其为等轴双曲线x2-y2=a2.)
(前面这些内容可由椭圆类比过来,学生不会感到困难,下面进入这节课的难点渐近线,思维从问题开始.)
师:,因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据,那么大家想想双曲线的走向是什么样的呢?谁能比较准确地画出双曲线?
师:很好,别的同学还有什么补充?
生:,第三象限分别是减函数和增函数.
师:只知道函数的增减性,是不能准确地作出图形的,我们还知道什么呢?
生:可以用描点法.
师:通过列表描点,,怎么办呢?
生:没人回答.
(学生的思维受到了阻力,老师可以给点帮助.)
师:过去我们学过双曲线吗?
越来越接近x轴和y轴.
线它们有没有渐近线呢?如果有的话,它们的渐近线是什么呢?
(稍停,让学生思考.)
师:刚才我们讨论了双曲线的范围、对称性、顶点,我们回忆一下,
-a2≥0,所以x≤-a或x≥a,从而得出了双曲线在两条平行线x=±a的两侧,我们能不能把双曲线的范围再缩小一点?让我们先看看双曲线
(再让学生思考一下)
指出区域.)
区域的范围.
经过A1A2作y轴平行线x=±a,经过B1B2作x轴平行线y=±b,
与这两条直线逐渐接近,谁能来试一试证明这个结论?
x越来越近,再具体点.
生:在第一象限内,双曲线上任一点M(x,y),当x无限增大,点
师:咱们一起证明一下:(让学生说,老师适当整理书写.)
(学生思路受阻,不知所措.)
师:这个式子告诉我们,当x无限增大时,分母为常数,而分子是一个无穷减无穷的绝对值,看不清楚这个距离是否趋于零,,而分母为无穷大呢?谁有办法?
师:这个结果告诉我们什么?你能解释一下吗?
生:当x无限增大时,分子是常数而分母是无穷大,也就是说当x
线的对称性,在其他象限内也有类似的情况.
生:由于实轴在y轴上的双曲线方程是将实轴在x轴上的双曲线方
师:这样,我们就比较完满地解决了画双曲线远处的走向问题,从
例1  求下列双曲线的渐近线方程(写成直线的一般式),并画出双曲线.
(1)4x2-9y2=36
(2)4x2-9y2=-36
(3)25x2-4y2=100
(4)25x2-4y2=-100
请看结果:
双曲线4x2-9y2=36,渐近线方程是:2x±3y=0,
双曲线4x2-