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§ 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性,我们需要对 Rn 中向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种度量----向量或矩阵的范数。向量范数是三维欧氏空间中向量长度概念的推广,在数值分析中起着重要作用。
向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
(1)正定性: ,且;
(2)齐次性:对,有;
(3)三角不等式: .
定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数,如果对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
对 Rn 中的任一向量
则和都是向量范数.
记
,
,
T,
 3种常用的范数
满足正定性是显然的.
(1)
证明仅证是向量范数.
(2) 对任意的实数 k , 有
(3) 设
, 则
证毕
p -范数
叫1-范数, (列范数);
叫2-范数, (Euclid(欧几里得)范数) ;
叫-范数, (行范数);
其中,
练****计算向量的各种范数.
任2种范数在刻画收敛性时等价
对 Rn 上的任意二种向量范数|| · ||a ,|| · ||b , 均有与向量 x 无关的常数 m 与 M (0<m<M),使下列的关系成立
证明略.
意义:向量x的某一种范数可以任意小(大)时,
该向量的其它任何一种范数也会任意小(大)。
矩阵范数
矩阵的范数是刻画矩阵大小的量,又叫矩阵的模.
定义 Rn×n上的实值函数‖·‖称为矩阵范数,如果对任意的矩阵 A 和 B, 它均满足下列4条性质:
正定性
齐次性
三角不等式
积的范数小于等于范数的积
矩阵范数与向量范数的相容性
定义给定向量范数||·||和矩阵范数||·||, 如果对任意的 n 维向量 x 和任意的n×n矩阵A,它们总满足
则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。
设在Rn中给定一种向量范数,对任意的n×n矩阵 A,式()中定义的函数是一种矩阵范数,并且它与给定的向量范数是相容的.
,
单位球上的最大像值
证明先证相容性. 对任意的n×n矩阵A和n维非零向量 y. 由于
所以有
此结果对 y=0 也成立.
再证() 式定义的矩阵函数为范数.
(1) 当A=0时,||A||=0;当A≠ 0时,必有x0∈Rn , ||x0||=1,满足 Ax0≠ 0 ,因而必有||A||>0.
(2) 对任意的数 k∈R,有
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
(4) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
证毕