有限及无限思想.doc

2010高考数学考点预测:
有限与无限的思想
一、考点介绍
1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解,将有限的问题化为无限来解决,利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.
2、把对无限的研究转化为对有限的研究,是解决无限问题的必经之路.
3、积累的解决无限问题的经验,将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向,同时有利于解决新的无限的问题.
4、立体几何中求球的表面积与体积的推导,实际上是先进行有限次分割,然后再求和、求
极限;数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等,.
5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现,随着高中课程改革,对新增内容的深入考查,必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.
二、高考真题
1. (2008安徽卷,理,14)在数列在中,,,,其中为常数,则的值是.
【解析】本题根据通项与前n项和可以求出常数的值,(即)来解决新的极限问题.
【答案】由知,是公差为4的等差数列,故
,解得,,从而.
2. (2005年福建卷,理,22) 已知数列满足,我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当时,得到无穷数列:当时,得到有穷数列:.
(Ⅰ)求当为何值时;
(Ⅱ)设数列满足, ,求证:取数列中的任一个数,都可以得到一个有穷数列;
(Ⅲ)若,求的取值范围.
【解析】这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系,随着所给出的初始条件不同,得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列,第(Ⅱ)问则可以通过有有限次的试验,得出对无限个都可以得到一个有穷数列{an}的猜想,(Ⅲ)问是把对无限个都成立的结果,通过有限次分析获得解决.
【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ) 解法一:,,
当时, ,
当时,,,
当时,,.
一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.
下面用数学归纳法证明.
当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列
假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中
,则时,,,
由假设可知, 得到一个含有项的有穷数列,其中.
所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中
由(1),(2)知,对一切,命题都成立.
解法二:
故取数列中的任一个数,都可以得到一个有穷数列.
(Ⅲ)即,
所以要使,当且仅当它的前一项满足.
由于,所以只须当时,都有
由,得, 解得.
3.(2008辽宁卷21)在数列,中,a1=2,b1=4,且成等差数列,成等比数列().
(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测,的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅱ)证明:.
【解析】第(Ⅰ)问由题设可得两个数列的递推关系式,进而得到两个数列的前几项(有限项) ,可以猜出两者的通项公式(无限的问题),(Ⅱ)问可以通过研究通项公式(无限的问题)直接解决无限的问题.
【答案】(Ⅰ)由条件得,由此可得
.猜测.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时