《抛物线及其标准方程》教学设计1.doc

§ 抛物线及其标准方程(选修2—1)
华中科技大学附属中学夏云晶
教学目标:
理解抛物线的定义,掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形、焦点和准线。
使学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法,提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。
通过学生参与标准方程的推导,培养学生的自主探索精神和创新意识,培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题。
教学重点:抛物线的定义及标准方程
教学难点:抛物线的标准方程的推导
教学过程:
一、创设情境引入新知
大家初中学****过二次函数,知道函数的图像是一条——抛物线。到底什么是抛物线呢?抛物线上的点具有怎样的性质呢?我们知道,椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。椭圆上的点满足到一个定点F和一条定直线的距离的比为定值,且定值小于1。双曲线上的点到一个定点F和一条定直线的距离的比为定值,且定值大于1。(几何画板作图并演示动画)
问题1:大家猜测下抛物线上的点具有怎样的性质呢?
观察1:现在已知定点F(0,1),定直线,F。在图像上任取一点P,连接PF,并作。请观察,当P点在抛物线上运动时,它到定点F的距离与到定直线的距离之间有何关系? (几何画板演示动画)
抛物线可以看成是平面内与定点F(0,1)和定直线的距离相等的点的轨迹。其实我们可以验证所有抛物线上的点都具有到一个定点和一条定直线的距离相等这一性质。反过来,具有这一性质的点的轨迹是不是抛物线呢?
观察2:在平面内任取定点F和定直线。在上取一点N,连接FN。作FN的中垂线,过N作的垂线,与NF的中垂线交于点M,连接MF。由刚才的作图过程,点M满足到点F的距离和到直线的距离相等。让M点运动起来,它的轨迹是什么? (几何画板演示动画)
二、探索研究构建方程
问题2:通过刚才的讨论,你能给抛物线下一个定义吗?
观察归纳抛物线的定义
定义:平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。(F)点F叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线。

问题3:从前面两个动画还发现,抛物线不仅有我们之前熟悉的开口向上、向下的情形,还有开口向右的情形。对于这些抛物线,如何确定它们的方程,进而利用方程来研究它们的性质呢?在求方程之前,先来回顾一下求曲线方程一般有哪几个步骤?
抛物线的标准方程
问题4:下面以开口向右的情形为例,怎样建系能使我们求得的方程更简洁呢?
方案1:以直线为Y轴,过点F垂直于的直线为X轴建系。
方案2:以定点F为原点,过点F垂直于的直线为X轴建系。
方案3:取过焦点F且垂直于准线的直线为X轴,X轴与交于点K,以线段KF的垂直平分线为Y轴建系。
假设定点F到定直线的距离为,曲线上任一点为M(x,y)。则在三种建系方法下,都有。
活动1:三个小组分别推导三种建系方法下对应的曲线方程。
方案1 :
由
方案2:
由
方案3: (学生演板)
由
观察知:方案3得出的方程不仅具有较简单的形式,而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍。这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示抛物线的焦点在X轴的正半轴上,坐标是(,0),准线方程为。标准方程中二次项在左边,系数为1;一次项在右边,系数为2p。
由于抛物线在坐标系中的位置不同,开口方向不同,其方