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1. 均值不等式法
例1 设求证
例2 已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:
例3 求证.
例4 已知,,求证:≤1.

例5 求证
例6 已知函数
求证:对任意且恒成立。
例7 已知
用数学归纳法证明;
对对都成立,证明(无理数)
例8 已知不等式。表示不超过的最大整数。设正数数列满足:求证
再如:设函数。
(Ⅰ)求函数最小值;(Ⅱ)求证:对于任意,有
例9 设,求证:数列单调递增且
3. 部分放缩
例10 设,求证:
例11 设数列满足,当时证明对所有有:
; .
4 . 添减项放缩
例12 设,求证.
例13 设数列满足证明对一切正整数成立;
5 利用单调性放缩: 构造函数
例14 已知函数的最大值不大于,又当时
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设,证明
例15 数列由下列条件确定:,.
(I) 证明:对总有;(II) 证明:对总有
6 . 换元放缩
例16 求证
例17 设,,求证.
7 转化为加强命题放缩
例18 设,定义,求证:对一切正整数有
例19 数列满足证明
例20 已知数列{an}满足:a1=,且an=
求数列{an}的通项公式;(2)证明:对一切正整数n有a1·a2·……an<2·n!
8. 分项讨论
例21 已知数列的前项和满足
(Ⅰ)写出数列的前3项; (Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对任意的整数,有.
9. 借助数学归纳法
例22(Ⅰ)设函数,求的最小值;
(Ⅱ)设正数满足,求证:
10. 构造辅助函数法
例23 已知= ,数列满足
(1)求在上的最大值和最小值; (2)证明:;
(3)判断与的大小,并说明理由.
例24 已知数列的首项,,.
(Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的,,;
(Ⅲ)证明:.
例25 已知函数f(x)=x2-1(x>0),设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*).
(Ⅰ) 用xn表示xn+1; (Ⅱ)求使不等式对一切正整数n都成立的充要条件,并说明理由;
(Ⅲ)若x1=2,求证:
例1 解析此数列的通项为,
,即
注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
,其中,等的各式及其变式公式均可供选用。
例2 [简析]
例3 简析不等式左边=
=,故原结论成立.
例4 【解析】使用均值不等式即可:因为,所以有

其实,上述证明完全可以改述成求的最大值。本题还可以推广为:
若,, 试求的最大值。
请分析下述求法:因为,所以有

故的最大值为,且此时有。
上述解题过程貌似完美,其实细细推敲,是大有问题的:取“=”的条件是,即必须有,即只有p=q时才成立!那么,呢?其实例6的方法照样可用,只需做稍稍变形转化:
则有

于是,,当且仅当
结合其结构特征,还可构造向量求解:设,则
由立刻得解:
且取“=”的充要条件是:。

例5 简析本题可以利用的有用结论主要有:
法1 利用假分数的一个性质可得
即
法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得,
例6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明,;这里给出运用柯西()不等式的简捷证法:
而由不等式得
(时取等号)
(),得证!
例7 [解析] 结合第问结论及所给题设条件()的结构特征,可得放缩思路:。
于是,
即
【注】:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:
,
即
例8 【简析】当时,即于是当时有
注:本题涉及的和式为调和级数,是发散的,不能求和;但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩;
再如:【解析】(Ⅰ)1;(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,对x>-1有,利用此结论进行巧妙赋值:取,则有
即对于任意,有
例9 [解析] 引入一个结论:若则,(可通过构造一个等比数列求和放缩来证明,略)
整理上式得(),以代入()式得。即单调递增。以代入()式得。此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。
注:上述不等式可加强为简证如下: 利用二项展开式进行部分放缩:
只取前两项有对通项作如下放缩:
故有
3. 部分放缩
例10 [解析]
又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,
于是
例11 【解析】用数学归纳法:当时显然成立,假设当时成立即,
则当时,成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得
【