隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率.ppt

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
第二章导数与微分
隐函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
小结作业
定义
1. 隐函数的定义
所确定的函数
一、隐函数的导数
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
称为
隐函数(implicit function).
的形式称为
显函数.
隐函数的
可确定显函数
例
开普勒方程
的隐函数客观存在,
但无法将
表达成
的显式
表达式.
显化.
2. 隐函数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
隐函数求导法则
用复合函数求导法则,
并注意到其中
将方程两边对x求导.
变量y是x的函数.
隐函数不易显化或不能显化
?
如何求导
例
解
则得恒等式
代入方程,
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
将此恒等式两边同时对x求导,得
因为y是x的函数,
是x的复合函数,
所以
求导时要用复合函数求导法,
0
=
x
0
=
y
0
=
x
0
=
y
虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.
允许在的表达式中含有变量y.
一般来说,隐函数
求导,
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,
将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数
从中解出即可.
于是y的函数便是x的复合函数,
的方程.
y是x的函数,
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
例
解
法一
利用隐函数求导法.
将方程两边对x求导,得
解出
得
法二
从原方程中解出
得
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
先求x对y的导数,得
再利用反函数求导法则,得
例
解
切线方程
法线方程
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
通过原点.
例
解
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
将上面方程两边再对
或解
解得
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
2
3
)
4
(
x
y
-
)
1
12
(
2
-
¢
×
y
y