正项数收敛判别方法.doc

数学与统计学院应用数学系
综合课程设计成绩评定书
设计题目: 正项级数收敛的判别方法

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摘要:
各项都由正数组成的级数称为正项级数,它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题,通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法,并结合相关实例,判断所给级数的敛散性。
关键字:正项级数收敛比较原则比式判别法根式判别法积分判别法
1基本概念
数项级数及其敛散性
在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质,下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。
定义1:给定一个数列,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
(1)
称为数项级数或无穷级数(简称级数),其中称为数项级数的通项。
数项级数(1)的前项之和,记为,称为(1)的前项部分和。
定义2:若(1)的部分和数列收敛于(即),则称数项级数(1)收敛,并称为(1)的和,记为,若为发散数列,则称数列(1)发散。
根据级数(1)的收敛性,可以得到收敛级数的一些性质:
(i) 收敛级数的柯西收敛准则
级数(1)收敛的充要条件是:,,,,有
(ii) 级数收敛的必要条件:若级数收敛,则.
(iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。
(iv) 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和(正项级数也满足)。
(v) 运算性质:
若级数与都收敛,是常数,则收敛,且满足
=
正项级数及其收敛的判别方法
设级数的各项(), 则称级数为正项级数.
显然,正项级数的部分和数列是单调增加的,即
由数列极限存在准则知:如果这个数列有上界,则它收敛;,可以得到正项级数收敛的基本定理。
定理1(基本定理) 正项级数收敛的充要条件是:部分和数列有界,即存在某正数,对一切正整数,有.
证:由于,所以是单调递增数列,而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).即上述定理得证。
定理2(比较原则) 设与均为正项级数, 若存在常数,或者对于都有
, (,)
则(1) 当级数收敛时,级数也收敛; (2)当级数发散时,级数发散.
证:设和的部分和分别为和,于是有:,当收敛时,有界,故亦必有界,,无上界,于是无上界,故发散.
下面给出比较判别法的极限形式,它在应用中较为方便。
比较判别法的极限形式:
给定正项级数与,若有, (2)
当时,和具有相同的敛散性;
当时,若收敛,则收敛.
当时,若发散,则发散.
证:设由(2)式,对,,当时,恒有
或
. (3)
由定理2以及(3)式可得:当(这里设)时,和具有相同的敛散性。
对于(ii), 当时,由(3)式右半部分以及比较原则:若收敛,则收敛.
对于(iii),当,对,存在相应的正数,当时,都有
由比较原则可得,若发散,则发散.
定理3(达朗贝尔判别法,或称比式判别法)
设为正项级数, 且存在某正整数,以及常数
(i) 若对于都有不等式,
(4)
则级数收敛。
(ii) 若对于都有不等式, (5)
则级数发散。
证:(i)不妨设(4)对一切都成立,于是有
把前个不等式按项相乘后得到
即,由于当时,等比级数收敛,由比较原则及上述不等式可证。
(ii)由于时不等式(5)恒成立,,。
下面给出比式判别法的极限形式
若为正项级数且, (6)
(i)当时,收敛;
(ii)当或时,则发散.
证:由(6)式,对任意取定的正数,,当时,恒有
.
当,这里取使,由上述不等式的右半部分及定理3可得收敛。
若,则取使,由上述不等式的左半部分及定理3可得发散。
若,存在,当时,,此时发散。
定理4(柯西判别法,或称根式判别法)
设为正项级数, 且存在某正整数,以及常数
(i) 若对于都有不等式, (7)
则级数收敛。
(ii) 若对于都有不等式, (8)
则级数发散。
证:(i)由(7)式有,由于等比级数当时收敛,由比较原则,(ii)由(8)式,当时,。
下面给出根式判别法的极限形式
若为正项级数且, (9)
时, 级数收敛;
时,级数发散;
时, 级数可能收敛也可能发散.
证:由(9)式,对任意取定的正数,,对一切时,恒有
.
由定理4即可得证。
定理5(积分判别法)
设为上非负递减函数,那么正项级数与反常积分同敛态.