第五章 第2节.doc

第2节向量的分解与向量的坐标运算
最新考纲 ;;、减法与数乘运算;.
知识梳理

如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
[常用结论与微点提醒]
=(x1,y1),b=(x2,y2)且a=b,则x1=x2且y1=y2.
,λa+μb=0,则λ=μ=0.
、,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
诊断自测
(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )
(3)设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.( )
解析(1)共线向量不可以作为基底.
(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.
(4)若b=(0,0),则=无意义.
答案(1)× (2)× (3)√(4)×
2.(2018·沈阳月考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( )
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
解析 2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.
答案 D
3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )
A.(-7,-4) B.(7,4)
C.(-1,4) D.(1,4)
解析根据题意得=(3,1),∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,
-4),故选A.
答案 A
4.(2017·山东卷)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ=________.
解析∵a∥b,∴2λ+6=0,解得λ=-3.
答案-3
5.(教材****题改编)已知▢ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.
解析设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),即解得
答案(1,5)
考点一平面向量基本定理及其应用
【例1】(1)(2014·全国Ⅰ卷)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A. B. C. D.
(2)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,=a,=b,则等于( )
+b +b
+b +b
解析(1)如图所示,+=(-)+(+)
=+=+=(+)=.
(2)∵=a,=b,
∴=+
=+=a+b.
∵E是OD的中点,∴=,
∴DF=AB.
∴==(-)
=×
=-=a-b,
∴=+=a+b+a-b
=a+b.
答案(1)A (2)C
规律方法 、减或数乘运算
.
:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
【训练1】(1)如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=________.
(2)(2017·日照模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=________.
解析(1)=+=+=+(