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非理性低通滤波器对采样速率的影响*
胡钟建(陆寿茂)

在时分信息传输系统中,对信号振幅均匀采样的重复频率fs应高于信号截止频率fc的两倍,即fs>2fc。这便是人们熟知的采样定理。导出上述结论的根据是,采样后的离散脉冲序列,应该包含原时间连续信号中的全部频谱成分(或全部信息)。该定理要求信号的频谱严格限制在0~fc的范围内。对于频谱较宽的信号,只有经过一个理想的矩形低通滤波器(LPF),然后进行采样,方能满足上述要求。这时采样频率便取决于低通滤波器的上限频率。
理想的低通滤波器是难以实现的。目前常用的非理想低通滤波器,通带上限fc系由3dB衰减确定,通带外的平均衰减斜率一般做到大于20dB/Oct和40dB/Oct,要求高些的可达60dB/Oct甚至80dB/Oct以上,但远未达到理想境界的矩形衰减水平,如图1所示。

图1 非理性LPF幅频特性图2 频率混叠图解
为了避免频率混叠,采样频率必须大于信号最高频率的两倍,否则,高频信号将以fs/2为中心“折叠”为低频分量,与低频信号相混淆,从而引起误差,详见图2。鉴于混叠相位不确定,最严重情况出现在同相或反相时刻,即混叠分量与低频信号直接相加或相减,于是形成图2虚线所示的混叠误差带的上下包络。混叠频率fa按式(1)计算:
(1)
式中f为信号频率;p为整系数。非理想低通滤波器(简称滤波器)的技术指标一经确定,采样频率应取多高为宜,成为专业人员必须考虑的重要问题。采样频率取高了,即采样点过密,将增加测量设备的容量,造成计算和处理上的浪费;取低了,会丢失信息,引起频率混叠,增大数据处理误差。
为此,我们结合理论分析进行了实验,企图找到采样频率和滤波器特性之间的合适关系。
回看图1纵轴K是电压传递系数的相对百分比,它是频率f的函数。一般情况下,通带内的K值尽量恒定,K随f的变化接近水平直线。按通带定义,K衰减到平坦段的时的频率,谓之截止频率fc。名为“截止”,实际上在f>fc的范围内,K并不“截止”,而是逐渐衰减,形成一个过渡段。滤波器的这一特点,对采样率的选定影响很大,不可忽视。

信号采集实验框图如图3所示,在此模拟了速变参数采集器。正弦信号发生器产生频率和幅度可变的信号输入。输入滤波器A(亦称抗混叠滤波器)带外衰减斜率有大于40dB/Oct和60dB/Oct的两种,系由R-C元件组成的布特华斯有源滤波器和双T陷波级串联而成。采样器由脉冲信号发生器驱动,频率可调。保持器的功用是增大恢复信号的幅值,提升信噪比。输出滤波器B的用途在于将离散的脉冲信号恢复为连续的时间信号,以便从示波器上直接观察混叠现象;对它要求较高,通带外的衰减斜率应大于60dB/Oct;滤波器B的构成与A相近。由于篇幅所限,各级原理图从略。
图3 信号采集实验功能框图
选定滤波器A和B的截止频率接近3kHz,固定采样频率fs==Const.。频率混叠实验结果如图4所示,幅值大者为输入信号,小者为输出信号。图4(a)、(b)的fi<fs/2,故输出频率等于输入频率;但图4(b)的输入频率接近采样频率之半,输出波形出现寄生调幅。图4(c)因fi>fs/2,出现混叠现象,输出混叠频率服从式(1)规律。

(a)fo=fi= (b)fo=fi=≈fs/2