§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练习参考解答.doc

§4 函数列与函数项级数的一致收敛性及其判别练****参考解答

(1) ,;
(2) ; (3) ;
(4) ①②;
(5) ①②;
(6) ; (7)
(8) ; (9) ;
(10) ;
(11)
①②。
解(1) ,由于,于是
,
所以在上一致收敛。
(2) 对于, 所以极限函数
。
所以在上一致收敛。
(3) 对于,所以极限函数
。
所以在不一致收敛。
(4) ①对于,所以极限函数
。
所以在上一致收敛。
②同理:在上一致收敛。
(5) ①对于,所以极限函数
。
所以在上一致收敛。
②同理:在上一致收敛。
(6) ,有,即,极限函数。
。
显然,,即函数列在区间一致收敛。
(7) 对于,所以极限函数
。
所以在上一致收敛。
(8) 对于,所以极限函数
。
所以在上一致收敛。
(9) ,由于,且
,
于是,所以在上一致收敛。
(10) 对于,所以极限函数
。
所以在上一致收敛。
:(1) 在区间一致收敛; (2) 在区间非一致收敛。
证明,有,即函数列在的极限函数
。
(1) ,要使不等式
成立,从不等式,解得,于是,
,有
,
即函数列在一致收敛。
(2) ,有
,
即函数列在非一致收敛。
.
1) 2)
解: 1),有,即,极限函数。
。
显然,,即函数列在区间一致收敛。
2),有,即。设函数
。
函数在闭区间连续,必取得最大值。
。
令,解得稳定点1与。
。
于是,是函数的极大点,最大值(极大值)是。有
。
即函数列在非一致收敛。
,并且在上一致收敛,
求证:在上一致有界。
,令
。
求证:在上一致收敛于。
,且
求证:在闭区间上,一致收敛于。
,定义函数序列

求证:在上一致收敛于零。
,但
,且在一致收敛于。求证:在上一致连续。
,且在一致收敛于;
又,满足,求证
,且
。
证明:和存在且相等,即
。
,且在一致收敛于,证明:在Riemann可积。
(绝对的和条件的):
(1) ;
解记故当时,原级数收敛。
当再根据上面的讨论故原级数绝对收敛。总之,当时,原级数绝对收敛。
(2) ;
解由于, 故仅当时,即或,级数绝对收敛,解不等式得:。,原级数通项不趋于0,故发散。
(3) ;
解由于故仅当时级数绝对收敛。当时,原级数为,显见它为条件收敛。当时,原级数通项不趋于0,故发散。
(4) ;
解,有。已知级数收敛,根据比较判别法,函数级数都收敛。于是,它的收敛域是。
(5) ;
解由知,,函数级数收敛;,级数发散。于是,它的收敛域是。
:
(1) ; (2) 。
:
(1) (2) ;
(3) ,; (4)
(5) (6)
(7) (8) ;
(9)
(10) (11) 。
解(1) 设,则当时,,由于收敛,由Weierstrass判别法,在上一致收敛。
(2) 设,则当时,,由于收敛,由Weierstrass判别法,在上一致收敛。
(3) 设,,则对固定的关于
是单调的,且在上一致收敛于零,同时,由Dirichlet判别法,在上一致收敛。
(5) 当时,级数显然收敛于0,当时,,于是,又收敛,所以原级数一致收敛。
(6) 当
对于级数,应用比值判别法,当
故收敛。因此级数一致收敛。
(7) 当
收敛,所以原级数一致收敛。
(8) 当,有
当时,,而收敛,及也收敛,故级数一致收敛。
:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
。
解应用定理1,,即要使不等式


成立。从不等式,解得。取。于是,
,有
,
即函数级数在区间一致收敛。
18. 证明:
1) 在区间(是正数)一致收敛;
2) 在一致收敛。
证明 1),即,有。已知级数收敛,根据定理,函数级数在区间一致收敛。
2),有,已知级数收敛。根据定理,函数级数在一致收敛。
19. (Abel判