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第二部分题型研究
题型四新定义与阅读理解题
类型三新解题方法型
针对演练
1. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题,中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术,术曰:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少成多,更相减损,”,意思是说,要求两个正整数的最大公约数,先用较大的数减去较小的数,得到差,然后用减数与差中的较大数减去较小数,以此类推,当减数与差相等时,此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数.
例如:求91与56的最大公约数
91-56=35
56-35=21
35-21=14
21-14=7
14-7=7
所以,91与56的最大公约数是7.
请用以上方法解决下列问题:
(1)求108与45的最大公约数;
(2)求三个数78、104、143的最大公约数.
2. (2017青岛节选)数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究:求不等式|x-1|< 2的解集
(1)探究|x-1|的几何意义
如图①,在以O为原点的数轴上,设点A′对应的数是x-1,由绝对值的定义可知,点A′与点O的距离为|x-1|,可记为A′O=|x-1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB,此时点A对应的数是x,=A′O,所以AB=|x-1|.因此,|x-1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
第2题图
(2)求方程|x-1|=2的解
因为数轴上3和-1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,-1.
(3)求不等式|x-1|<2的解集
因为|x-1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围.
请在图②的数轴上表示|x-1|<2的解集,并写出这个解集.
3. (浙教八下第47页阅读材料改编)古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式,《几何原本》中,形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是:如图,以和b为两直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取BD=,则AD的长就是所求方程的解.
(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长.
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性,并说说这种解法的遗憾之处.
第3题图
4. 请你阅读引例及其分析解答,希望能给你以启示,然后完成对探究一和探究二的解答.
引例:设a,b,c为非负实数,求证:++≥(a+b+c),
分析:考虑不等式中各式的几何意义,我们可以试构造一个边长为a+b+c的正方形来研究.
解:如图①,设正方形的边长为a+b+c,
则AB=,BC=,CD=,
显然AB+BC+CD≥AD,
∴++≥(a+b+c).
探究一:已知两个正数x,y,满足x+y=12,求+的最小值(图②仅供参考);
探究二:若a,b为正数,求以,,为边的三角形的面积.
第4题图
答案
1. 解:(1)108