2026年考研复试自动控制原理专项突破试卷（含答案）.docx

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考试时间：______分钟 总分：______分 姓名：______
一、单项选择题（下列每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母填在题后的括号内。每小题2分，共20分）
1. 已知某线性定常系统的传递函数为G(s) = (s+2) / (s^2 + 3s + 2)，该系统的阶次为（ ）。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
2. 若某线性系统的传递函数为G(s) = 1 / (s+1)，对其输入单位阶跃信号u(t) = 1(t)，其零态响应（即初始状态为零时的响应）的稳态值为（ ）。
A. 0
B. 1/2
C. 1
D. 无穷大
3. 根据线性系统的叠加原理，若系统对输入u1(t)的响应为y1(t)，对输入u2(t)的响应为y2(t)，则系统对输入u(t) = a*u1(t) + b*u2(t)（a, b为常数）的响应为（ ）。
A. a*y1(t) + b*y2(t)
B. a*y1(t) - b*y2(t)
C. a*y2(t) - b*y1(t)
D. a*b*y1(t)*y2(t)
4. Routh-Hurwitz稳定性判据适用于判断（ ）。
A. 非线性系统的稳定性
B. 线性时变系统的稳定性
C. 线性定常系统的稳定性
D. 离散时间系统的稳定性
5. 在根轨迹法中，若根轨迹上的某点位于s平面的虚轴上，则该点对应的系统增益K值（ ）。
A. 必定等于1
B. 必定小于1
C. 必定大于1
D. 无法确定
6. 若某系统的开环传递函数在s = -1+j0处有一个零点，在s = -1+j1处有一个极点，则该系统的Nyquist曲线在s平面的复数映射中，通过点（-1, j0）的频率（ω）为（ ）。
A. 0 rad/s
B. 1 rad/s
C. -1 rad/s
D. 2 rad/s
7. 对于一阶系统，其单位阶跃响应的超调量σ_p（%）总是（ ）。
A. 0
B.
C. 100
D. 不确定，取决于系统参数
8. 已知二阶系统的阻尼比ζ = ，无阻尼自然频率ω_n = 10 rad/s，则该系统的单位阶跃响应的超调量σ_p（%）为（ ）。（保留一位小数）
A.
B.
C.
D.
9. 已知某系统的Bode图，其低频段（ω→0）的斜率为-20 dB/decade，高频段（ω→∞）的斜率为-40 dB/decade，则该系统开环传递函数中必含（ ）个积分环节。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10. 若线性定常系统状态方程描述的系统是可控的，则（ ）。
A. 系统一定是可观测的
B. 系统一定不是可观测的
C. 系统是否可观测不能确定
D. 系统的状态一定是能控的
二、填空题（请将答案填在题后的横线上。每空2分，共20分）
1. 若系统函数H(s) = Y(s)/R(s)，则H(s)在s平面上的极点代表了系统输出的______分量。
2. 若系统函数H(s)的分子多项式为N(s) = s+1，分母多项式为D(s) = s^2 + 2s + 1，则H(s)在s = -1处有一个______。
3. 根据Nyquist稳定性判据，当系统的开环传递函数G(s)H(s)的Nyquist曲线绕(-1, j0)点顺时针方向绕行______圈时，闭环系统不稳定。
4. 对于二阶欠阻尼系统（0 < ζ < 1），其单位阶跃响应的调节时间t_s（根据σ_p=5%）与阻尼比ζ和无阻尼自然频率ω_n的关系近似为t_s ≈ ______。
5. 已知状态方程ẋ = Ax，若矩阵A的特征值均为负实数，则该系统是______系统。
6. 将传递函数G(s) = (s+2) / (s^2 + 3s + 2)转换为状态空间表达式（如能控标准形），其状态矩阵A的元素为______，（假设输出为y = [1 0]x）。
7. 在Bode图中，每经过一个积分环节，低频段（ω→0）的斜率会增加______ dB/decade。
8. 若系统的开环传递函数在s平面右半平面有P个极点，Nyquist曲线顺时针绕(-1, j0)点N圈，闭环系统不稳定极点数为Z = P - N，则当Z = 0时，称该系统满足______条件。
9. 设系统传递函数为G(s) = 1 / (s+1)，当输入为单位斜坡信号r(t) = t时，系统的零态响应y(t)的稳态值为______。
10. 若系统A是可观测的，且存在非奇异变换将A对角化，则通过线性非奇异变换将A变换为对角形矩阵P^TAP后，新系统矩阵P^TAP仍然是______的。
三、计算题（请写出详细的计算步骤。每小题10分，共40分）
1. 已知系统的传递函数为G(s) = (s+3) / (s^2 + 3s + 2)。要求：
(1) 判断该系统是否稳定。
(2) 若系统初始状态为零，输入为单位阶跃信号u(t) = 1(t)，求系统输出的零态响应y(t)。
2. 已知系统的开环传递函数为G(s)H(s) = K / (s(s+2)(s+5))。要求：
(1) 绘制该系统的根轨迹草图（至少标注起点、终点、分离点、会合点、渐近线参数）。
(2) 若要求闭环系统稳定，开环增益K的取值范围是多少？
3. 已知系统的单位阶跃响应为y(t) = 1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t} (t≥0)。要求：
(1) 求该系统的传递函数G(s)。
(2) 求该系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ω_n。
4. 已知系统的传递函数为G(s) = 2 / (s(s+1))。要求：
(1) 绘制该系统的对数幅频特性（Bode图）的渐近线。
(2) 若系统输入为单位阶跃信号，求系统输出的稳态值。
四、简答题（请简明扼要地回答下列问题。每小题10分，共40分）
1. 简述传递函数的定义及其主要特点。
2. 什么是线性定常系统的状态空间表达式？它包含了系统哪些方面的信息？
3. 简述Nyquist稳定性判据的基本思想。
4. 为什么说根轨迹法是一种图解分析方法？它在系统分析中有何主要作用？
试卷答案
一、单项选择题
1. B
解析：传递函数分母多项式的最高阶次决定了系统的阶次。
2. C
解析：对于传递函数为G(s) = 1 / (s+a)的系统，单位阶跃响应为y(t) = 1 - e^(-at) * u(t)。稳态值是t→∞时y(t)的极限，即1。
3. A
解析：线性系统的零态响应满足叠加原理，即响应与输入成线性关系。
4. C
解析：Routh-Hurwitz稳定性判据是用于判断线性定常系统特征方程所有根是否都具有负实部的经典方法。
5. A
解析：当根轨迹经过虚轴上的点时，根据Nyquist稳定性判据的推导，此时系统增益K达到临界值，通常为1（特殊情况除外，但一般题目默认此点）。
6. B
解析：s = -1+j0对应s平面上实部为-1的点，频率ω为1 rad/s时，s = -1+jω，此时实部仍为-1，虚部为ω=1。
7. A
解析：一阶系统的单位阶跃响应没有超调，始终单调上升，稳态值为1，超调量为0。
8. A
解析：二阶欠阻尼系统超调量σ_p = exp(-ζπ/√(1-ζ^2)) * 100%。代入ζ=，计算得σ_p ≈ %。
9. B
解析：低频段斜率为-20 dB/decade，说明有一个积分环节；高频段斜率变为-40 dB/decade，说明在原基础上又增加了一个积分环节。总共增加2个，即原系统有2个积分环节。
10. C
解析：可控性与可观测性之间没有必然的蕴含关系，它们描述的是系统不同方面的特性，一个系统可以是可控但不可观测，反之亦然。
二、填空题
1. 自然
解析：系统函数的极点对应系统自然响应（固有响应）的模式。
2. 零点
解析：H(s)的分子多项式N(s)的根称为零点。
3. 1
解析：根据Nyquist稳定性判据，每绕(-1, j0)点顺时针方向一圈，闭环系统不稳定极点数增加1。
4. (1-ζ)/ω_n * sqrt(1-ζ^2)
解析：二阶欠阻尼系统调节时间t_s(5%)的近似公式为t_s ≈ (1-ζ)/ω_n * sqrt(1-ζ^2)。
5. 稳定
解析：若矩阵A所有特征值均为负实数或具有负实部，系统状态方程描述的系统是稳定的。
6. [-3, 1]; [2, 0]
解析：将G(s) = (s+2) / (s^2 + 3s + 2)写成sI-A形式，即s(x) = Ax + Bu，y = Cx + Du。对于单输入单输出系统，通常取B=[1, 0]^T, D=0, C=[b, a]^T。解得A=[-3, 1; 2, 0]。
7. +20
解析：在Bode图中，每个积分环节使低频段（ω=1 rad/s附近）的斜率增加20 dB/decade。
8. 统一（或 相等）
解析：当Z = 0时，说明闭环系统不稳定极点数等于零，即所有闭环极点都在s左半平面，此时系统满足稳定条件。
9. 1
解析：对于传递函数为G(s) = 1 / (s+a)的系统，单位斜坡响应y(t)的稳态值等于斜坡输入的幅度除以系统的增益（即1/a），当a=1时，稳态值为1。
10. 可观测
解析：线性非奇异变换不改变系统的可控性与可观测性。若原系统A是可观测的，变换后的系统P^TAP仍然是可观测的。
三、计算题
1. 解：
(1) 系统特征方程为s^2 + 3s + 2 = 0。解得特征根s1 = -1, s2 = -2。两个根均具有负实部，故系统稳定。
(2) 单位阶跃响应Y(s) = G(s) / (s+1) = [(s+3) / (s^2+3s+2)] / (s+1) = [(s+3) / ((s+1)(s+2))] / (s+1) = (s+3) / (s(s+1)(s+2))。进行部分分式展开：
Y(s) = A/s + B/(s+1) + C/(s+2)
A = (s+3)/(s+1)(s+2)|_{s=0} = 3/2
B = (s+3)/s(s+2)|_{s=-1} = -2
C = (s+3)/s(s+1)|_{s=-2} = 1/2
Y(s) = 3/(2s) - 2/(s+1) + 1/(2(s+2))
取反变换得：y(t) = (3/2) - 2e^(-t) + (1/2)e^(-2t) * u(t)
零态响应为：y(t) = (3/2) - 2e^(-t) + (1/2)e^(-2t) (t≥0)
2. 解：
(1) 开环传递函数G(s)H(s) = K / (s(s+2)(s+5))，其零点为0，极点为0, -2, -5。根轨迹绘制：
- 起点在极点0, -2, -5（均为实数，根轨迹沿实轴出发）。
- 终点在无穷远处（因阶数-极点数=0）。
- 实轴上根轨迹段：-∞到-5，-2到0。
- 渐近线：根轨迹趋于无穷远处有n-m=1条渐近线。渐近线与实轴交点σ_a = (0 + (-2) + (-5)) / 1 = -7。渐近线与虚轴交点ω_a = ±sqrt(|-7|^2) = ±√49 = ±7。
- 分离会合点：设实轴上分离点为s_d，有(dK/ds)|_{s=s_d} = 0。即 K*(s_d+2)(s_d+5) - K*s_d*(s_d+5) - K*s_d*(s_d+2) = 0。整理得 s_d*(s_d+4) = 0。解得 s_d = 0 (在-2和0之间，舍去), s_d = -4。此点为实轴上一处分离点。因极点间只有一个实根，故-4是唯一分离点。会合点在无穷远。
- 根轨迹草图（文字描述）：从-5, -2, 0出发沿实轴，在-4处分离，分离后向上（进入左半平面）进入，最终趋于渐近线（方向为-7±j7）。
(2) 闭环系统稳定的条件是所有闭环极点（即根轨迹上位于s右半平面的点）均具有负实部。根据根轨迹的走向，当开环增益K增大时，根轨迹从实轴的-5, -2, 0点出发，必然经过s右半平面。因此，闭环系统不存在稳定的工作范围，即K的取值范围为空集（或0 < K < ∞时系统不稳定）。
（注：如果题目意图是求系统稳定时K的某个范围，可能题目本身存在不严谨之处，或需要考虑零点影响。严格按照标准根轨迹分析，该系统无法稳定。）
3. 解：
(1) 系统传递函数G(s) = L{y(t)} / L{1(t)} = sY(s) / 1 = Y(s) / (1/t) = 1 / (1/s) = 1 / (s + 2e^{-3t})。注意：原响应为y(t) = 1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t}，零态响应应为y(t)本身（假设输入在t=0开始）。因此，传递函数应为G(s) = (1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t}) / (1/s) = 1/s - 4/(s+2) + 3/(s+3)。
对应的传递函数为 G(s) = 1/s - 4/(s+2) + 3/(s+3) = (s+2)(s+3)G(s) / [(s+2)(s+3)] = [ (s+3) - 4(s+3) + 3(s+2) ] / [(s+2)(s+3)]
G(s) = [s+3 - 4s - 12 + 3s + 6] / [(s+2)(s+3)] = [-s - 3] / [(s+2)(s+3)] = -1 / (s+2)
检查：原响应 y(t) = 1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t} = 1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t}。传递函数为 G(s) = 1 / (s+2)。
重新审视题目，可能是输入为单位阶跃信号1(t)，响应为y(t) = 1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t}。则传递函数 G(s) = Y(s) / R(s) = [1/s - (1-4e^{-2t}+3e^{-3t})/s] = -(-4e^{-2t}+3e^{-3t})/s = (4e^{-2t}-3e^{-3t})/s。对应传递函数为 G(s) = 1 / (s+2)。
假设题目意图是单位阶跃响应为 y(t) = 1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t}，求传递函数。则 G(s) = [1/s - (1 - 4e^{-2t} + 3e^{-3t})/s] = -(-4e^{-2t} + 3e^{-3t})/s = (4e^{-2t} - 3e^{-3t})/s。对应传递函数为 G(s) = 1 / (s+2)。
更正：传递函数 G(s) = 1 / (s+2)。
(2) G(s) = 1 / (s+2) 对应的标准二阶形式为 G(s) = ω_n^2 / (s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2)。比较系数：
s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2 = s^2 + 4s + 4
ω_n^2 = 4 => ω_n = 2 rad/s
2ζω_n = 4 => 2ζ*2 = 4 => 4ζ = 4 => ζ = 1
阻尼比 ζ = 1，无阻尼自然频率 ω_n = 2 rad/s。
4. 解：
(1) 系统传递函数G(s) = 2 / (s(s+1))。绘制Bode图渐近线：
- 低频段（ω<<1）：斜率为-20 dB/decade。在ω=1 rad/s时，|G(j1)| = 2 / (1*1) = 2。|G(j1)| = 20*log10(2) ≈ dB。低频段渐近线过点(1, dB)，斜率为-20 dB/decade。
- 中频段（1<ω<<1）：斜率保持-20 dB/decade。
- 高频段（ω>>1）：斜率增加+20 dB/decade。ω=1 rad/s时，G(jω) = 2 / (ω(ω+1))。令ω=1，|G(j1)| = 2 / (1*2) = 1。|G(j1)| = 0 dB。高频段渐近线过点(1, 0 dB)，斜率为+20 dB/decade。
- 拐点：ω=1 rad/s时，低高频段斜率发生转折。
- 相位：低频段（ω<<1）：φ ≈ 0°。ω=1 rad/s：φ ≈ -90°。高频段（ω>>1）：φ ≈ -180°。
（注：此处仅描述渐近线，未绘制图形。）
(2) 输入为单位阶跃信号u(t) = 1(t)，其拉氏变换为U(s) = 1/s。输出Y(s) = G(s)U(s) = [2 / (s(s+1))] * (1/s) = 2 / (s^2(s+1))。进行部分分式展开：
Y(s) = A/s + B/s^2 + C/(s+1)
2 = A(s)(s+1) + B(s)(s+1) + Cs^2
令s=0：2 = A(0)(0+1) + B(0)(0+1) + C(0)^2 => A = 2
令s=-1：2 = A(-1)(-1+1) + B(-1)(-1+1) + C(-1)^2 => 2 = C => C = 2
令s=1：2 = A(1)(1+1) + B(1)(1+1) + C(1)^2 => 2 = 2A + 2B + C => 2 = 2(2) + 2B + 2 => 2 = 4 + 2B + 2 => 2B = -4 => B = -1
Y(s) = 2/s - 1/s^2 + 2/(s+1)
取反变换得：y(t) = [2 - t + 2e^{-t}] * u(t)