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& 变化率问题导数的概念
预****课本P2~6,思考并完成下列问题
(1)平均变化率的定义是什么?平均变化率的几何意义是什么?



(2)瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率?



(3)如何用定义求函数在某一点处的导数?



=f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式:=.
(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
(4)平均变化率的几何意义:
设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点,函数y=f(x)的平均变化率==为割线AB的斜率,如图所示.
[点睛] Δx是变量x2在x1处的改变量,且x2是x1附近的任意一点,即Δx=x2-x1≠0,但Δx可以为正,也可以为负.
=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
定义式
=
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
[点睛] “Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,且始终Δx≠0.

定义式
=
记法
f′(x0)或y′|x=x0
实质
函数y=f(x)在x=x0处的导数就是y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( )
(3)在导数的定义中,Δx,Δy都不可能为零.( )
答案:(1)√(2)× (3)×
(t)=t2+3,则从3到3+Δt的平均速度为( )
+Δt +Δt+
+Δt +Δt
答案:A
(x)=2x2-4的图象上两点A,B,且xA=1,xB=,则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )


答案:C
′(x0)= 中,Δx不可能为( )


答案:C
求函数的平均变化率
[典例] 求函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx的值为,哪一点附近的平均变化率最大?
[解] 在x=1附近的平均变化率为
k1===2+Δx;
在x=2附近的平均变化率为
k2===4+Δx;
在x=3附近的平均变化率为
k3===6+Δx;
若Δx=,则k1=2+=,k2=4+=,
k3=6+=,
由于k1<k2<k3,
故在x=3附近的平均变化率最大.
求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x1)-f(x0).
(2)再计算自变量的改变量Δx=x1-x0.
(3)求平均变化率=.
[活学活用]
求函数y=x3从x0到x0+Δx之间的平均变化率,并计算当x0=1,Δx=时平均变化率的值.
解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率为==
=3x+3x0Δx+(Δx)2,
当x0=1,Δx=时平均变化率的值为
3×12+3×1×+2=.
求瞬时速度
[典例] 一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2.
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=2时的瞬时速度.
[解] (1)当t=[0,0+Δt],即[0,Δt],
∴Δs=s(Δt)-s(0)=[3Δt-(Δt)2]-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,
==3-Δt,li =li (3-Δt)=3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2+Δt],
∴Δs=s(2+Δt)-s(2)
=[3(2+Δt)-(2+Δt)2]-(3×2-22)
=-Δt-(Δt)2,
==-1-Δt,
= (-1-Δt)=-1,
∴当t=2时,物体的瞬时速度为-1.

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度=;
(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度.
(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参与运算;
(2)求出的表达式后,Δx无限趋近于0就是令Δx=0,求出结果即可.
[活学活用]
一木块沿某一斜面自由滑下,测得下滑的水