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高斯求积公式.ppt

文档分类：高等教育 | 页数：约56页举报非法文档有奖

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1
一般理论
求积公式
含有个待定参数
当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次.
如果适当选取有可能使求积公式
具有次代数精度,这类求积公式称为高斯(Gauss)
求积公式.
2
为具有一般性,研究带权积分
这里为权函数,
类似(),求积公式为
()
为不依赖于的求积系数.
使()具有次代数精度.
为求积节点,
可适当选取
定义4
如果求积公式()具有次代数精度,
则称其节点为高斯点,相应公式()称为高斯求积公式.
3
根据定义要使()具有次代数精度,只要对
()
当给定权函数,求出右端积分,则可由()解得
令()精确成立,
即
4
例5
()
解
令公式()对于准确成立,
试构造下列积分的高斯求积公式:
得
()
5
由于
利用()的第1式,可将第2式化为
同样地,利用第2式化第3式,利用第3式化第4式,分别得
从上面三个式子消去有
6
进一步整理得
由此解出
从而
7
这样,形如()的高斯公式是
由于非线性方程组()较复杂,通常就很难求解.
故一般不通过解方程()求,
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
8
定理5
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
与任何次数不超过的多项式带权正交,
()
证明
即
插值型求积公式()的节点
必要性.
设
则
9
是高斯点,
因此,如果
精确成立,
因
即有
故()成立.
则求积公式()对于
充分性.
用除,
记商为,
余式为,
即,
其中.
对于
由()可得
()
10
由于求积公式()是插值型的,它对于是精确的,
即
再注意到
知
从而由()有

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