高斯求积公式.ppt

高斯求积公式§引言§求积公式§高斯求积公式的系数和余项§举例引言 n+1 个节点的插值求积公式的代数精确度不低于 n求积公式,能不能在区间[ a,b] 上适当选择n个节点 x 1,x 2,……,x n,使插值求积公式的代数精度高于 n?答案是肯定的,适当选择节点,可使公式的精度最高达到 2 n+1 ,这就是所要介绍的高斯求积公式。为考虑一般性,设求积公式为???? ba nk kkxfAdxxf 0)()( 是权函数 0)( )()()( 1?????x xfA dxxfx ba nk kk??注意此时的代数精度最高为 2 n-1 (一)定理: 求积公式的代数精度最高不超2 n-1 次。证明:分别取 f(x)=1, x ,x 2,...x n 时代入公式,并让其成为等式得 A 1 + A 2 + …… + A n=∫ a b 1dx.= b-a x 1 A 1 + x 2 A 2 + …… + x n A n=∫ a b xdx .= (b 2 -a 2 )/2 ...... x 1 rA 1 + x 2 rA 2 + …… + x n rA n =∫ a bx r dx r =( b r +1 -a r+1 )/ (r+1) 上式共有 r 个等式, 2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解,应有方程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n, 这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是 2 n-1, 下面证明代数精度只能是 2 n-1. [ 如果事先已选定[a , b]中求积节点 x k如下 a?x 1?…x n? b,上式成为 n个未知数A 1、...A n的n元线性方程组,此时要 r=n 时方程组有唯一解] ???? ba nk kkxfA dxxfx 1)()()(?事实上,取 2n次多项式 g(x)=(x-x 1) 2 (x-x 2) 2…. (x- x n) 2代入求积公式,有左= 右= =0 左?右,故不成立等式,定理得证. 定义: 使求积公式达到最高代数精度 2 n-1 的求积公式称为 Guass 求积公式 Guass 求积公式的节点 x k称为 Guass 点,系数 A k称为 Guass 系数. 因为 Guass 求积公式也是插值型求积公式,故有结论:插值型求积公式的代数精度 d满足: n-1 ?d? 2n-1 ?? bao dxxgx)()(??? nk kkxgA 1)(???? ba nk kkxfA dxxfx 1)()()(?定理: 若f (2n) (x) 在[a,b] 上连续,则高斯求积公式的余项为其中??( a,b),w(x)=(x-x 1 )(x-x 2)…..(x- x n)。高斯求积公式的系数 A k恒为正,故高斯求积公式是稳定的. § Guass 求积公式有多种,他们的 Guass 点x k, Guass 系数 A k 都有表可以查询. dx xwxn fR ba n nn)()( )!2( )( 2 )2(????常用的高斯求积公式 1. Gauss - Legendre 求积公式(1) 其中高斯点为 Legendre 多项式的零点 L n (x)= 对于一般有限区间[ a,b] ,用线性变换 x=(a+b)/2+(b-a)t/2 使它变成为[-1,1] 。????? 111)()( nk kkxfA dx xf n nnn dx xdn )1(!2 1 2?? n x k (n) A k (n)R n 1 0 2 2 - 1 + 1 3 - 5/9= + 5/9= 0 8/9= 4 -