高等代数课件 10.5.ppt

化简线性变换的矩阵
特征值与特征向量
设V 是数域K 上的线性空间,T 是V 的
一个线性变换,如果存在数域K中的数和V中非零元
素,使得
T()=
则称为T 的特征值,为T 的属于特征值的特征向
量.
任何非零元素既是单位变换E 的属于特
特征值1的特征向量,又是零变换O的属于特征值0的
特征向量.
设 V 是可微实函数全体所成的实线性空间,D 是微分变换
D(f (x))=f ’(x), f (x)V.
求 D的特征值与特征向量.
解因为 f ’(x)=f (x) ,所以 f (x)=cex(c≠0)是特
征向量,为任意实数.
特征值与特征向量的算法:
设1, 2,n是V的一个基,V上的线性变换T在
该基下的矩阵为A,又特征向量在该基下的坐标为
x,则 T() 的坐标为Ax,的坐标为x,则有
Ax=x
从而确定线性变换T 的特征值与特征向量的方法下:
(1) 在n维线性空间V 中取一个基1, 2,,n,写
出T 在这个基下的矩阵A;
(2) 求出T 的特征多项式 det(E-A) 在数域K中的全
部根,它们也就是T 的全部特征值.
(3) 设0是T 的一个特征值,解齐次线性方程组
(0E-A)x=0 求出一个基础解系
xi=(ci1,ci2,,cin)T (i=1,2,,s)
它们即为矩阵A 的属于特征值0的线性无关的特征向
量. 令
i=ci11+ci22++cinn (i=1,2,,s)
则1,2,,s 就是T的属于特征值0的线性无关的特征
向量,而T 的属于特征值0的全部特征向量为
k11+k22++kss (k1,k2,,ks 不全为零)
已知 K22的线性变换T
求T 的特征值与特征向量.
解取K22的基E11,E12,E21,E22, 可求得T 在这个基
下的矩阵为
由于 det(E-A)=2(+2)(-2),
所以 T 的特征值为1=2=0,3=-2,4=2.
由 Ax=0 得A 的属于0的两个线性无关的特征向量
(-1,1,0,0)T, (1,0,0,1)T. 因此,T属于0的线性无关的
特征向量就是
而T 属于0 的全部特征向量就是 k1X1+k2X2 (k1,k2不全
为零)
又可求得A属于特征值-2的线性无关特征向量
(0,1,0,0)T. 因此,T 属于特征值-2的线性无关的特征
向量就是
而T 属于特征值-2的全部特征向量就是 kX3(k不为零)
同理可求得T 属于特征值2的线性无关的特征向量
是
而T属于特征值2的全部特征向量就是lX4 (l不为零).
练****题:在K[x]n 中,微分变换 D(f (x))=f ’(x)
求D 的特征值与特征向量.
性质1 设T 是V 的线性变换,如果T 的属于同一
个特征值的特征向量的线性组合不是零元素,则它仍
是T的属于这个特征值的特征向量.
集合 V={T()=, V}, 是线性空间V 的子空
间,称为T 属于特征值的特征子空间.
性质2 设T 是V的线性变换,f (x) 是x 的多项式
如果是T 的特征值,是属于的特征向量,则T 的
多项式 f (T)=asTs+as-1Ts-1++a1T+a0E 的特征值
是f (), 属于f () 的特征向量仍为.
性质3 线性变换T 的属于不同特征值的特征向量
是线性无关的.
性质4 如果1, 2,, m 是线性变换T 的互异特
征值,i1,i2,, 是属于特征值i 的线性无关的特征
向量(i=1,2,,m),则元素组
也线性无关.
化简线性变换的矩阵
设V 是数域K上的n 维线性空间,1, 2,
, n 和1,2,,n是V的两个基,又设由基1, 2, ,
n 到1,2,,n的过渡矩阵为P ,则V 上的线性变换
T在基1, 2, , n 下的矩阵A和在基1,2,,n下的
矩阵B满足 B=P-1AP
证由假设