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最大流在信息学竞赛中应用的一个模型
江涛
关键字:
网络可行流最大流附加网络
无源汇必要弧流的分离有上下界的最大流建模
引言:
最大流类的模型在当今信息学比赛中有相当广泛的应用。但在教学中,发现很多同学对流模型的原理和变形并不掌握,只是记下经典的算法和题目,以便比赛中套用。
这当然有很大的局限性,也不是学****之正道。本讲想通过对最大流模型,特别是附加网络的一些分析、讨论,达到抛砖引玉目的。
一、网络与流的概念
一个实例:运输网络
D
3
S
A
B
C
T
E
3
2
1
4
2
3
5

网络定义:
一个有向图 G=(V,E);
有两个特别的点:源点s、汇点t;
图中每条边(u,v)∈E,有一个非负值的容量C(u,v)
记为 G=(V,E,C)
网络三要素:点、边、容量
可行流定义:
是网络G上的一个“流”,即每条边上有个“流量”P(u,v),要满足下面两个条件:
流的容量限制---弧:
对任意弧(u,v)---有向边
流的平衡---点:
除源点和汇点,对任意中间点有:流入u的“流量”与流出u的“流量”相等。即:
有
网络的流量:源点的净流出“流量”或汇点的净流入“流量”。即:
注意,我们这里说的流量是一种速率,而不是指总量。联系上面所说的实例,下面是一个流量为1的可行流:
D
3
S
A
B
C
T
E
3
1
0
4
2
3
4
1
1
1

标准图示法:
D
0/3
S
A
B
C
T
E
0/3
1/2
1/1
0/4
0/2
0/3
1/5

有一个n*m的国际棋盘,上面有一些格子被挖掉,即不能放棋子,现求最多能放多少个棋子“车”,并保证它们不互相攻击(即:不在同一行,也不在同一列)?
分析:
行、列限制---最多只能一个车控制;
车对行、列的影响---一个车控制一个行和边;
例子:

1
2
3
1
2
3
s
t
1
1
1
1
1
1

显然,我们要求车最多,也就是求流量最大---最大流问题。下面是一个解:
1
2
3
1
2
3
s
t
1
1
1
1
1
1

即(1,3)、(2,1)、(3,2)格上各放一个车,可得到一个最优方案。
二、最大流问题
寻找网络G上可能的最大流量(和一个有最大流量的可行流方案),即为网络G上的最大流问题。
,:
D
1/3
S
A
B
C
T
E
1/3
2/2
1/1
0/4
0/2
0/3
1/5

求解过程中的困惑:
[]流量还可能增加吗?
[]如果能增加,怎样改进?
三、最大流算法的核心---增广路径
退流的概念---后向弧
,我们发现,流量是可以增加的:
D
1/3
S
A
B
C
T
E
1/3
1/2
1/1
1/4
1/2
1/3
0/5

D
2/3
S
A
B
C
T
E
2/3
2/2
1/1
1/4
1/2
1/3
1/5
把一个流量弧(B,C)和(C,T)上的流退回到B点,改道从B-D-E-T走,就可以增加流量了,如下图:

“直接寻找增大流的路径”,是因为当初有些弧上的流选择不“恰当”,要“退流”。
一种直观的想法就是:调整或重新搜索“当初的选择”---难!
能不能保留以前的工作,而在这之上改进呢?经过专家们研究发现,加入退流思想---后向弧,就能再次“直接寻找增大流的路径”。
增广路径(可改进路径)的定义
若P是网络中连结源点s和汇点t的一条路,我们定义路的方向是从s到t,则路上的弧有两种:
前向弧---弧的方向与路的方向一致。前向弧的全体记为P+;
后向弧---弧的方向与路的方向相反。后向弧的全体记为P-;
设F是一个可行流,P 是从s到t的一条路,若P满足下列条件:
在P+的所有前向弧(u,v)上,0≦f(u,v) < C(u,v);
在P-的所有后向弧(u,v)上,0<f(u,v) ≦C(u,v);
则称P是关于可行流F的一条可增广路径。
D
1/3
S
A
B
C
T
E
1/3
2/2
1/1
0/4
0/2
0/3
1/5

本图中:S-A-C-B-D-E-T 为一增广路径。其中(C,B)为后向弧,其它为前向弧