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§ 约数与倍数
一、定义
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公约数中,最大的一个称为这几个整数的最大公约数,a与b的最大公约数用(a,b)表示。
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公倍数中,除0以外最小的一个正的公倍数称为这几个整数的最小公倍数,a与b的最小公倍数用[a,b]表示。
二、基本性质
设a,b,c,d是整数,且b≠0.
=bq+c,则(a,b)=(b,c)。(用辗转相除法求最大公约数的依据)
(a,b)=d,则存在整数au+bv=d。
3.(am,bm)=(a,b)m,m为正整数。
=(a,b),则(a/d,b/d)=1。
5.(a,b)=(a,a±b)。
(a,b)=1,则(a,bc)=(a,c)。
,b的所有公约数就是(a,b)的所有约数;a,b的所有公倍数就是[a,b]的所有倍数。
8.(m,n)[m,n]=mn,其中m,n为正整数。
例1 有两个容器,容量分别为27,15升,如何利用它们从一桶油中倒出6升油来。
解:巧用最大约数。辗转相除求(27,15):
所以(27,15)=(27,15)=(12,3)=3,即存在u=1,v=2,使得3=2×15-1×27,两边扩大2倍,得6=4×15-2×27。所以往小容器里倒4次油,每次倒后就向大容器里倒,大容器满了就往油桶里倒。这样,在大容器第二次倒满时,小容器里剩下的就是6升油。
例2 如果N是1,2,…,2007,2008的最小公倍数,那么,N等于多少个2与一个奇数的积?
解:因为210=1024<2008,211=2048>2008,第一个不大于2008的正整数都可以表示为2的乘方与奇数之积的形式,其中2个数不多于10个,由于N为它们的最小公倍数,所以N=210·k,其中k为奇数。
例3 四个互不相同的正整数的和是190,它们的最大公约数最大是多少?这四个数各是多少?
解:设四个互不相同的正整数分别为a,b,c,n,不妨设a<b<c<n,d=(a,b,c,n),则
a=da1,b=db1,c=dc1,n=dn1
其中a1,b1,c1,n1为互不相同的正整数,且(a1,b1,c1,n1)=1,由假设和题设可知
d|(a+b+c+n),a+b+c+n=190
而
190=2×5×19=10×19=2×95=5×38
所以,d可以分下列三种情形:
1)当d=95时,a1+b1+c1+n1=2,这是不可能的;
2)当d=38时, a1+b1+c1+n1=5 ,这也不可能的;
3)当d=19时, a1+b1+c1+n1=10 ,所以
a1=1,b1=2,c1=3,n1=4,
所以
a=19×1=19,b=19×2=38,c=19×3=57,n=19×4=76
这四个数分别为19,38,57,76,它们的最大公约数为19。
例4 从自然数列1,2,3,…,中依次划去3的倍数和4的倍数,保留5的倍数(例如15,20等不能划去,将剩下的数依次写成数列A1=1,A2=2,A3=5,A4=7,…,求A2008
解:因为[3,4,5]=60,把自然数列从1开始分成每连续60个正整数为一组,这样,在第n+1组排在第m个位置上的数为60n+m,其中n,m∈N,且1≤m≤60。在每组中,3的倍数有20个,4的倍数有15个,5的倍数有12个,12的倍数有5个,15的倍数有4个,20的倍数有3个,60的倍数有1个,所以每组按要求划去各数后剩下
60-20-15+5+4+3-1=36个数。
由于A2008表示在新的数列中排在第2008个位置,而2008÷36=55……28。在1~60中剩下的第28个数为46,所以说明在原数列排在第55组第28个位置,所以
A2008=60×55+46=3346。
例5 已知两个正整数a与b的差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大者是多少?
解:不妨设a>b,设(a,b)=d,a=a1d,b=b1d,且(a1,b1)=1,由题意可得
即
因为105=3×5×7=3×35=5×21=7×15,
所以a1-b1只可能是32,16,8。但只有8整除120,所以
a1=15,d=15,
所以
a=15×15=225。
例6 三个互不相同的正整数之和为370,它们的最小公倍数最小能够是多大?并求出这三个数。
解:设三个互不相同的正整数分别为a,b,c,不妨设a<b<c,d=(a,b,c),则
a=da1,b=db1,c=dc1
其中a1,b1,c1为互不相同的正整数,且(a1,b1,c1)=1。由假设和题设可知d|(a+b+c), a+b+c=,则要使它们的最大公约数d尽可能大,而
370=2×5×37=10×3