用好“题设的必不充分条件”这把“双刃剑”.doc

用好“题设的必不充分条件”这把“双刃剑”
:题设…结论,,外延也没有拓展,:题设…结论,,设满足题设的元素构成集合m,满足结论的元素构成的集合为n,若mn,,在第二类推导过程中,题设的内涵的性质在减弱,“利”与“弊”两方面的后果:“利”“全部”满足可以暂时降到“局部”满足,题设的“一般性”满足暂时降到“特殊性”满足,题设的“是否存在”满足暂时降低到“假设存在”,我们可以从一般先到特殊,未知暂当已知,从而把解决问题的“入口”降低.“弊”的一方面是这样的推导有可能使答案的范围扩大或者出现“增解”的现象,结果“惹祸”,,我们说“题设的必要不充分条件”是一把“双刃剑”.
为了用好这把“双刃剑”,我们采用以下面的推导流程:
题设题设的必要但不充分条件中间结果验证结论
这种模式的推导是从一般先到特殊再回到一般,即先研究特殊情况,推出中间结果,再对特殊情况下的中间结果进行“一般性”或“存在性”的验证,最后推出结论,这样,一方面使结论与题设仍然保持等价性,另一方面使解决问题的思路简单、清晰,而且也为解决探究性问题提供了行之有效的策略.
下面举例说明怎样使用这把
“双刃剑”,来达到既能“克敌制胜”又不会“伤害自己”.
例1 (2008年江苏高考数学第14题)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈r),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.
这道试题,散见在各种文献资料上有四种解法,现在分别作出评析.
分析1 f(x)≥0恒成立f(x)min≥(x)在x∈[-1,1]上的最小值.
由题得:f′(x)=3ax2-3=3(ax2-1),
(1) 当a≤0时,f′(x)0时,令f′(x)=3(ax2-1)=0,得x=±1a
①若0②若a>1,则-10,总有g(x)和h(x)相切于点p12,12,根据图,得原题等价于x∈(-1,1)时,除切点外,g(x)的图象在h(x)图象的上方
g(1) ≥h(1) g(-1)≥h(-1)g12=h12即f(1) ≥0f(-1)≥0f12=0,得a=4.
评注推导过程仍然是等价转化,不过是画出了大家熟悉的三次函数与一次函数的图象,,但思维含量要求较高,必须挖掘出隐含条件,并且依赖于直观,有风险.
分析3 对于x
∈[-1,1]都有f(x)≥0成立的必要不充分条件是f(1) =a-2≥0f(-1)=-a+4≥0即得2≤a≤4.
在这样的限制范围下,就可以避免分析1中的分类讨论,而只需要说明分析1中的第(2) 种情况的②就可以了,从而得a=4.
评注整个闭区间上要满足f(x)≥0,其必要不充分条件是区间的两端要满足f(x)≥0,通过两个特殊值限制了a的取值范围,依此来减