314空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

空间向量的正交
分解及其坐标表示
平面向量基本定理:
平面向量的正交分解及坐标表示
x
y
o
【温故知新】
问题:
我们知道,平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
x
y
z
O
Q
P
由此可知,如果是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组{x,y,z}使得
我们称为向量在
上的分向量。
探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量,你能得出类似的
结论吗?
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
一、空间向量基本定理:
如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z},使
都叫做基向量
(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,
还应明确:
(2) 由于可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。
推论:设O、A、B、C是不共线的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使
当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底.
求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.
练****br/>二、空间直角坐标系
单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,--xyz
点O叫做原点,向量e1,e2,e3

标轴的平面叫做坐标平面。
x
y
z
O
e1
e2
e3
给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标,=(x,y,z)
三、空间向量的直角坐标系
x
y
z
O
e1
e2
e3
例1
平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.
分析:要用a,b,c表示
MN,只要结合图形,充
分运用空间向量加法
和数乘的运算律即可.
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
解:
A
B
C
D
A1
B1
D1
C1
M
N
连AN,
则MN=MA+AN
MA=- AC =- (a+b)
1
3
1
3
AN=AD+DN=AD-ND
= (2 b + c )
1
3
= (- a + b + c )
1
3
∴MN= MA+AN
例1
平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.