44：椭球面1.ppt

§4 椭球面
《解析几何》
-Chapter 4
Contents
一、椭球面的概念
二、椭球面的性质
三、椭球面的形状
定义
在直角坐标系下,由方程
(-1)
所表示的曲面叫椭球面,或称椭圆面,
方程(-1)
叫做椭球面的标准方程,其中
为任意的
正常数,通常假定
一椭球面的概念
因为方程(-1)仅含有坐标的平方项,可见当
满足(-1)时,
点
也一定
关于三坐标平面,
三坐标轴及坐标原点都对称.
(-1)
满足,
其中正负号可任意选取,
所以椭球面(-1)
椭球面的对称平面,对称轴与对称中心分别叫做
它的主平面,主轴与中心。

二椭球面的性质
z
y
x
0
M
N
z
(x,y,z)
椭球面与它的三
对称轴即坐标轴
的交点分别为
这六个点叫做椭球面的顶点

同一条对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度
叫做椭球面(-1)的轴;
轴的一半,
即中心与各顶点间的线段及它们的长度
叫做椭球面(-1)的半轴.
时,
分别叫做椭球面的长轴,中轴与短轴.
当
,
短半轴.
而
分别叫做椭球面的长半轴,中半轴与
显然任何两轴相等的椭球面一定是旋转
椭球面,
例如当
时,
方程(-1)就变成
(-1)
它是由椭圆
绕 x 轴旋转而成.
它是一个长形旋转椭球面.

想到椭球面的大致形状.
椭球面当三轴不等时,叫做三轴椭球面.
而三轴相等的椭球面就是球面.
因为椭球面(-1)上任意一点的坐标
总满足
因此椭球面完全
被封闭在一个
长方体的内部,
这个长方体由
六个平面:
所组成.
(-1)
x
y
z
O

三、椭球面的形状
为此我们考虑曲面与一组平行平面的交线,
这些交线都是平面曲线.
当我们对这些平面曲线的形状都已清楚时,曲面的
大致形状也就可以看出来了.
这就是所谓利用平行平面的截口来研究曲面形状的方法,简称为平行截割法,
为了方便起见,常取与坐标面平行的一组平面.