二阶常系数线性微分方程.ppt

第四节二阶常系数线性微分方程
教学内容:二阶常系数线性微分方程解的结构及解法(特征方程法,待定系数法)

二. 方程的解法——特征方程法
——待定系数法
教学重点: (p,q为常数)的解法; 的特解求法
教学方法:讲授与练****结合
教学难点:
的特解求法
教学手段:多媒体课件与面授讲解相结合
一    一.  二阶常系数线性微分方程解的结构
定义1 形如(其中p,q为常数(4—1)
的方程称为二阶常系数线性微分方程, 称为自由项,特
别地,当= 0时, ( 4—2)称为二阶常系数线性齐次微分方程,否则称为线性非齐次微分方程。
定理1 如果是方程(4—2)的两个解,那么也是(4—2)的解,其中
是任意常数。
例1验证都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,并说明是原方程的通解。
证:将代入方程
左端= - -2e-x=e-x+e-x-2e-x=0=右端
所以 y1=e-x是方程的解
同理,y2=e2x,y3=e1-x也是方程的解
由定理1可知, 是原方程的解。因c1,c2不能合并为一个常数(即c1,c2是独立的)而方程是二阶的,因此是方程的通解; 是方程的解,但=e-x( +C3e)=Ce-x( 其中C=C1+C3)即 C1,C3 可合并为一个常数,
定理2(的解的结构)
如果函数是方程的两个线性无关
(即常数)的特解,则的
通解为(其中C1,C2为任意常数)

二. 方程的解法——特征方程法
由定理2可知,要想求出方程的通解,只
需求出它的两个线性无关的特解即可
设方程的特解为:y=erx(道理阐明)
由=rerx, =r2erx,代入方程,得(r2+pr+q)erx=0
由erx 0 r2+pr+q=0
可见,r只要满足r2+pr+q=0,函数y=erx就是方程
  的解。
称方程为方程的特征方程
设为特征方程的两个根。
若,则就是的两个线性无关的解,此时方程的通解为
若, 即 r 为重根,这时得到方程
的一个解还需求出一个与
线性无关的解,即满足常数,
于是可设
则代入方程得:
(ii)由r为特征方程的重根及根与余数的关
系,得
这样, 数, 是方程的两
个线性无关的特解,因此方程的通解为
y=(C1x+C2)erx
(iii)当p2-4q<0时,特征方程无实根,而有一对共轭的复数根,这时,
是方程的两个线性无关
的特解。因此,方程的通解为:
y= =
例1 求+ -2y=0的通解
解特征方程 r2+r-2=0特征根为r1=1,r2=--2
因此,通解为y=C1ex+C2e-2x
例2 求+6 +9y=0的满足y|x=0,=0, |x=0=-2的特解
解特征方程为:r2+6r+9=0 , r1=r2=-3
通解为:y=(C1+C2x)e-3x =(C2-3C1-3C2x)e-3x
由初始条件:y|x=0=0 得 C1=0
|x=0=-2 得 C2=2
因此所求特解为:y=2xe-3x
例3 求解-2 +5y=0
解:特征方程:r2-2r+5=0 r=1 2i
通解为:y=ex(C1cox2x+C2sin2x)
综上,求二阶常系数齐次微分方程步骤如下:
(1) 写出特征方程 r2+pr+q=0
(2) 求出特征根
(3) 按下表写出通解
r2+pr+q=0的两个根r1,r2
微分方程的通解
两个不等实根r1,r2
y=
两个相等实根r1=r2=r
y=( )erx
一对共轭复根r1,2= i
y=