考研数学微积分复习精要.docx

1、函数
①定义:已知两个集合A,B;从A到B的一个函数是一个规则,它对集合A中每个元素指定了集合B中一个唯一的元素,记作:F:A→B;若x∈A, Fx∈B则可表示为:x⟼Fx;
②复合:fgx=f∘g;
③函数代数的单位元:f∘f-1=I;其中f-1表示反函数,即某函数的逆;
⑴并非所有函数都存在逆函数的;只有定义了F:A→B是一对一的映射;
⑵只有定义了F:A→B的才是一对一的映射关系,才存在函数的逆元;
④函数极限性质:limx→afx±gx=limx→afx±limx→agx;
limx→afx∙gx=limx→afx∙limx→agx ; limx→afxgx=limx→afxlimx→agx, limx→agx≠0
⑤渐近线方程:
⑴ limx→x0fx=∞,其中x0为一个奇点,此时存在垂直渐近线:x=x0;
⑵ limx→∞fx=c,则存在水平渐近线:y=c;
⑶ limx→∞fxx=a ; limx→∞fx-ax=b ⇒ y=ax+b;此为一般渐近线;
⑥ fx+f-x一定为偶函数;而fx-f-x则一定为奇函数;
⑦奇函数证明:⑴定义域关于0对称;⑵ fx+f-x=0;
2、连续性、可导性问题
①函数连续性,在几何上呈现为不间断的连续曲线,包括角点;满足以下条件:
⑴ x0必须在函数定义域内,即fx0必须有定义;
⑵ limx→x0fx必须存在;
⑶ limx→x0fx=fx0;
②性质:
⑴任何多项式函数在其定义域内都是连续的;
⑵在定义域内连续的任意有限个函数的和差积商,在定义域内也分别是连续的;
⑶函数连续性是可导性的必要条件,但不是充分条件;即可导必连续,反之未必;
⑷可导性要求函数在几何上不存在角点,即原函数的平滑性,即导函数的连续性;
⑸导数的几何意义为曲线的斜率;
③间断点的定义:
⑴第一类间断点:左右极限都存在;
可去间断点:左右极限相等;
跳跃间断点:左右极限不相等;
⑵第二类间断点:左右极限至少有一个不存在;
无穷间断点:该极限趋于无穷大;
④尖点问题:
⑴如果一个函数在一点x=c的一个邻域中除去点x=c自身以外均可微,而
limx→cf'x=±∞,并且f'x在x通过c时改变符号,则我们称点x=c是个尖点;
⑵由于当我们趋向x=c时导数变为无穷,故而我们推断出切线在我们趋向尖点时
它变为竖直;
⑤两个重要极限:limx→0sinxx=1;limx→∞1+1xx=e;
⑥求fx,y在0,0点上的连续性,以及可导性:
⑴先令x=y≠0,求出fx,y的值;若是常数,则表明在任意小的邻域内总是有
fx,y=c,若 f0,0≠c,则可以判定0,0必为一个间断点;
⑵再令fx,0=a1x≠0a2x=0 ⇒若a1=a2,则必有fx'x,0=fx'0,0=0;同理
可判断fy'0,0的情况;
3、导数
①定义:f'x0=lim∆x→0fx0+∆x-fx0∆x=lim∆x→0∆y∆x=limx→x0fx-fx0x-x0;
②两个基本公式:⑴ ddxfx+gx=f'+g';⑵ ddxfx∙gx=f'g+fg';
③易忘公式其他基本的常用公式请参考教材;
:
⑴ fxgx'=f'xgx-fxg'xg2x;⑵ arcsinx'=11-x2;⑶ ax'=axlna;
⑷ tanx'=sec2x;⑸ x'=xx;⑹ xx'=1+lnx∙xx;
⑺ sinhx'=coshx;⑻ coshx'=sinhx;⑼ tanhx'=1coshx2;
④性质:
⑴ fx>gx≠f'x>g'x;
⑵ Fx=gxφx φ=∅念phi→/fаi/
;φx在x=ξξ念xi→/ksai/
处连续但不可导,而g'x却是存在的,
则gξ=0是 Fx在x=ξ处可导的充分必要条件;
⑶如果y=fx在0,∞内有界且可导,则当limx→+∞f'x存在时,
limx→+∞f'x=0;
⑷ fx处处可导,则当limx→+∞f'x=+∞时,则必有limx→+∞fx=+∞;
⑤链式微分法:df∘gdx=dfdgx∙dgdx;
⑥反函数微分一般情况下,我们总是约定反函数形式若存在平方根函数时取其正值;在隐函数中亦是如此;
法则:
⑴反函数性质:ff-1x=f-1fx=x;
⑵ dxdy=1dydx;偏导数则不具有该性质;
⑶ df-1xdx=1f'f-1x;
4、全微分及偏导数
①全微分定义:U=Ux1,x2,⋯,xn DifferentialdU=∂U∂x1dx1+∂U∂x2dx2+⋯+∂U∂xndxn;
②全导数:y=fx,w,z;w=gx;z=hx;