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状态和状态空间模型
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状态和状态空间模型
系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。
状态
状态变量
状态空间
状态空间模型
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状态空间的基本概念
下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念,主要讲授内容为:
系统的状态和状态变量
系统的状态空间
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1. 系统的状态和状态变量
动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。
正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分重要。
“状态”的定义如下。
定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。
该变量组的每个变量称为状态变量。
该最小变量组中状态变量个数称为系统的阶数。
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“状态”定义的三要素
完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。
动态时域行为。
最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。
减少变量,描述不全。
增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。
要掌握喔!
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若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t).
若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:
图2-1 多输入多输出系统示意图
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状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。
它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量;
可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。
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状态空间
状态变量与输出变量的关系
状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。
而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动态特性。
因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律。
可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投影,一个子集。
输出
空间
空间映射
x
y
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2. 系统的状态空间
若以n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.
状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。
随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。
状态轨线如图2-2所示。
图2-2 二维空间的状态轨线
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系统的状态空间模型
状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。
状态空间模型由
描述系统的动态特性行为的状态方程和
描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程
所组成。
下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。
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