应用数值分析02.doc

课后第二章****题解答
1.(1) Rn×n中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。
(2)Rn×n中的子集“正交矩阵”,“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
设A是n×n的正交矩阵。证明A-1也是n×n的正交矩阵。
证明:
(2)A是n×n的正交矩阵
∴A A-1 =A-1A=E 故(A-1)-1=A
∴A-1(A-1)-1=(A-1)-1A-1 =E 故A-1也是n×n的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵,证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异
又AT=A ∴(A-1)T=(AT)-1=A-1
故A-1也是非奇异的对称阵
设A是单位上(下)三角阵。证A-1也是单位上(下)三角阵。
证明:A是单位上三角阵,故|A|=1,∴A可逆,即A-1存在,记为(bij)n×n
由A A-1 =E,则(其中 j>i时,)
故bnn=1, bni=0 (n≠j)
类似可得,bii=1 (j=1…n) bjk=0 (k>j)
即A-1是单位上三角阵
综上所述可得。Rn×n中的子集“正交矩阵”,“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。
A=
解:A=~~~
故齐次线行方程组Ax=0的基础解系为,
。
A1=, A2
解:A1=,|I- A1|==
,
解(1I- A)x=0 得
解(2I- A)x=0 得
4、已知矩阵,求A的行空间及零空间的基。
解:
5、已知矩阵,试计算A的谱半径。
解:
6、试证明,其中
。
7、在R4中求向量x=(1,2,1,1)T在基S=(1,2,3,4)下的坐标,其中1=(1,1,1,1)T, 2=(1,1,-1,-1)T,3=(1,-1,1,-1)T,4=(1,-1,-1,1)T。
解:由x=sy得 y-4=s-1x=
8、在中向量,取基,求。
9、已知R3中两组基
S1={1,2,3}=,S2={1 ,2 ,3 }=
求从S1 到S2的过度矩阵;
设已知u=(2,1,2)T R3求u在S1 下的坐标和u在S2下的坐标。
解:① A= S1-1S2=
②对u=(2,1,2)T
在S1 下,由u=S1x可求出x= S1-1u=
在S2下,由u=S2x可求出x= S2-1u=
10. 已知A=,求dim(R(A)), dim(R(AT)), dim(N(A)).
解:A=
dim(R(A))=dim(R(AT))=r(A)=2
dim(N(A))=n-r=4-2=2
11、已知A=span{1,ex,e-x},D=是X上的线性变换,求
① D关于基S1={1,2ex,3e-x}的矩阵A;
② D关于基S2={1,(ex+e-x)/2,(ex-e-x)/2}的矩阵B。
解:①由Dx=S1A,设A=[X(1),X(2),X(3)]
D(1)=0,0= S1 X(1)=0·1+0·2 ex+0·3e-x, X(1)=(0,0,0)T
D(ex)= ex ,ex= S1 X(2)=0·1+·2 ex+0·3e-x, X(2)=(0, ,0)T
D(e-x)= -e-x , -e-x = S1 X(3)=0·1+0·2 ex+·3e-x, X(2)=(0, 0, )T
②类似的可得D关于基S2={1,(ex+e-x)/2,(ex-e-x)/2}的矩阵B为
12、已知线性变换T:P2(t)→P3(t),定义T为T(P(t))=求线性变换T在基偶(S1={1,t,t2}, S2={1,t,t2/2,t3/3})下的矩阵。
解:设所求矩阵为A,则有T S1 =S2A
T(1)=
T(t)=
T(t2)=

13、设A Rm×n,定义从Rn到 Rm的变换T为T:xRn →y=Ax xRm
试证明T是线性变换。
证明:

,有
故,由定义知,T是线性变换。
14、已知R3中取基S1=,R2中取基S2=。
线性变换T:R3→R2 定义为x=(x1 ,x2 ,x3)T R3,Tx=(x2 +x3 ,x1 +x3)T R2.
求① T在(S1 ,S2)下的矩阵A;
②设u=(2,-3,2)T R3,u在S1 下的坐标和Tu在S2下的坐标。
解:①由题知,T(S1)= S2A


②对u=(2,-3,2)T在S1 下
由可求出
在S2下
由可求出
15、求由向量1=(1,2,1)T与2=(1,-1,2)T张成的R3的子空间X=span{1,2}的正交补(即所有与X垂直的向量