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报童的秘诀
报童每天清晨从报社购进报纸零售,晚上将没有买掉的报纸退回
试为报童设计一个购进报纸数量。
分析:众所周知,应该根据需求量确定购进量,需求量是随机
的,这需要调查,假定报童已经通过自己的经验或其他
的渠道掌握了需求量的随机规律为f(r),因需求量是随机
的所以,收入也是随机的,因此,不能以报童每天的收入
为目标,而应以他一段时期(比如一年)的日平均收入
为目标。
假设:
1:设每份报纸的进价为b
2:退回价为c
3:零售价为a
4:每天购进量为n份
5:每天报纸的需求量为r的概率为f(r),r=……
6:记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G( n)
如果需求量r 《 n ,则他售出r份,退回n-r份
如果需求量r 》 n ,则他售出n份。
又有需求量为r的概率为f(r)
问题归结为在a,b,c,f( r )已知时,求n使G( n)最大。
通常需求量r 和购进量n都相当大,将r 视为连续性的变量更便于
分析和计算,这时概率[分布率] f(r)转化为密度函数p( r ).
(1)
1式变为:
利用高等数学的方法。计算
令
使报童日平均收入达到最大的购进量n应该满足(3)式,
3
又因:
所以(3)式可以化为
根据需求量的概率密度函数p( r ).的图形
很容易从(3)式确定购进量n,在图中用A
,B中分别表示曲线p( r ).下的两块面积,则
(3)式可记作:
n
A
B
5
因为当购进份报纸n时,
是需求量r不超过n的概率。
即卖不完的概率
是需求量r超过n的概率。
即卖完的概率
所以
购进的份数n应该是卖不完与卖完的概率之比,恰好等于
卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。
显然:但报童与报社签定的合同使报童每份赚钱与赔钱之比。
越大时,报童购进的份数救应该越多。
推广:一般地,报纸每天的需求量的规律(分布律)未知,需要
经过调查和统计得出
以及日常得一些事件的影响,对该问题的影响。