2011届高考数学复习课件-导数应用(理).ppt

导数的应用
导数的应用举例 1
解: (1)由已知 f(x)=3x2-x-2,
(2)命题等价于 f(x) 在[-1, 2] 上的最大值小于 m.
单调递增区间是(-∞, - ) 和(1, +∞).
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设 f(x)=x3- x2-2x+5. (1)求函数 f(x) 的单调递增、递减区间; (2)当 x[-1, 2] 时, f(x)<m 恒成立, 求实数 m 的取值范围.
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令 f(x)<0 得- <x<1;
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令 f(x)>0 得 x<- 或 x>1.
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∴y=f(x) 的单调递减区间是(- , 1);
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令 f(x)=0 得 x=- 或 1.
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f(1)=3 ,
f(2)=7,
∵f(-1)=5 ,
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f(- )=5 ,
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∴f(x) 在[-1, 2] 上的最大值为 7.
∴7<m.
故实数 m 的取值范围是(7, +∞).
导数的应用举例 2
解: (1)函数 f(x) 的定义域为(-1, +∞).
∴当 a<0 时, f(x)>0, f(x) 在(-1, +∞) 上为增函数;
设 f(x)= x+1 -aln(x+1), aR, 且 a0, 取e=. (1)求 f(x) 的单调区间; (2)比较 x+1 与 ln(x+1) 的大小, 并加以证明.
2(x+1)
x+1 -2a
= .
又 f(x)= -
2 x+1
1
x+1
a
当 a>0 时, 令 f(x)<0 得-1<x<4a2-1;
令 f(x)>0 得 x>4a2-1.
∴当 a>0 时, f(x) 在(-1, 4a2-1) 上为减函数,
在(4a2-1, +∞) 上为增函数.
综上所述, 当 a<0 时, f(x) 的单调递增区间为(-1, +∞);
当 a>0 时, f(x) 的单调递减区间为(-1, 4a2-1),
单调递增区间为(4a2-1, +∞).
导数的应用举例 2
由(1)知 g(x) 在(-1, 3) 上为减函数,
设 f(x)= x+1 -aln(x+1), aR, 且 a0, 取e=. (1)求 f(x) 的单调区间; (2)比较 x+1 与 ln(x+1) 的大小, 并加以证明.
解: (2) x+1 >ln(x+1), 证明如下:
=2-ln4>0.
∴g(x)≥g(3)>0.
即 x+1 >ln(x+1).
设 g(x)= x+1 -ln(x+1),
又 g(3)= 3+1 -ln(3+1)
在(3, +∞) 上为增函数,
导数的应用举例 3
设函数 f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调区间、极值; (2)若当 x[a+1, a+2] 时, 恒有|f(x)|≤a, 试确定 a的取值范围.
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解: (1)由已知 f(x)=-x2+4ax-3a2,
∵0<a<1, ∴a<3a.
令 f(x)=0 得 x=a 或 x=3a.
当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:
x
(-∞, a)
a
(a, 3a)
3a
(3a, +∞)
f(x)
-
0
+
0
-
f(x)

极小值

极大值

由上表可知, f(x) 的单调递增区间是(a, 3a), 单调递减区间是(-∞, a) 和(3a, +∞).
当 x=a 时, f(x) 取极小值 f(a)
=- a3+b;
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当 x=3a 时, f(x) 取极大值 f(3a)=b.
导数的应用举例 3
设函数 f(x)=- x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调区间、极值; (2)若当 x[a+1, a+2] 时, 恒有|f(x)|≤a, 试确定 a的取值范围.
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解: (2)∵0<a<1, ∴2a<a+1.
∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,
∴f(x)=-x2+4ax-3a2 在[a+1, a+2] 上为减函数.
f(x)min=f(a+2)=4a-4.
∵当 x[a+1, a+2] 时, 恒有|f(x)|≤a, 即
-a≤f(x)≤a 恒成立.
∴4a-4≥-a 且 2a-1≤a.
解得≤a≤1.
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又 0<a<1,
故 a 的取值范围是
[ , 1).
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已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值, 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1, 2).