2011届高考数学复习课件：导数的应用(理).ppt

导数的应用
一、复****目标
了解可导函数的单调性与其导数的关系. 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号), 会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
二、重点解析
对于可导函数 f(x), 先求出 f(x), 利用 f(x)>0(或<0)求出函数 f(x) 的单调区间;
利用 f(x)=0, 求出 f(x) 的极值点, 把极值点对应的函数值与区间端点所对应的函数值进行比较, 求出最值.
如果函数在区间内只有一个点使 f(x)=0, 此时函数在这点有极大(小)值, 那么不与端点比较, 也可以知道这就是最大(小)值.
如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.

三、知识要点
(1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)<0, 则 y=f(x) 为减函数,
(2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0).
注当 f(x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.
例 f(x)=x3 在(-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然 f(x)=x3 在(-1, 1) 上仍旧是增函数.
极大值与极小值统称为极值.
是函数 f(x) 的一个极小值, 记作: y极小值=f(x0),
如果对 x0附近的所有点, 都有 f(x)>f(x0), 就说 f(x0)

设函数 f(x) 在点 x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有点, 都有 f(x)<f(x0),
我们就说 f(x0) 是函数 f(x) 的一个极大值, 记作:
y极大值=f(x0);
f(x0) 是极值的方法
(1)如果在 x0 附近的左侧 f(x)>0, 右侧 f(x)<0, 那么 f(x0) 是
极大值;
(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)<0, 右侧 f(x)>0, 那么 f(x0) 是
极小值.
一般地, 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时
f(x) 的极值的步骤:
(1)确定函数的定义域;
(3)求方程 f(x)=0 的根;

在闭区间[a, b] 上连续的函数 f(x) 在[a, b] 上必有最大值与最小值.
但在开区间(a, b) 内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值, 例如 f(x)=x, x(-1, 1).
f(x) 在[a, b] 上连续, 在(a, b) 内可导, 求 f(x) 在[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下:
(1)求 f(x) 在(a, b) 内的极值;
(2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大
值, 最小的一个是最小值.
(2)求导数 f(x);
(4)检查 f(x) 在方程 f(x)=0 的根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么 f(x) 在这个根处取得极小值.
典型例题 1
已知 aR, 求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.
解: 函数 f(x) 的导数 f(x)=2xeax+ax2eax
=(2x+ax2)eax.
(1)当 a=0 时, 由 f(x)<0 得 x<0; 由 f(x)>0 得 x>0.
∴f(x) 的单调递减区间为(-∞, 0), 单调递增区间为(0, +∞),
(2)当 a>0 时, 由 f(x)<0 得- <x<0;
2
a
2
a
由 f(x)>0 得 x<- 或 x>0.
∴f(x) 的单调递减区间为(- , 0);
2
a
f(x) 的单调递增区间为(-∞, - ) 和(0, +∞).
2
a
(3)当 a<0 时, 由 f(x)<0 得 x<0 或 x>- ;
2
a
由 f(x)>0 得 0<x<- .
2
a
∴f(x) 的单调递减区间为(-∞, 0) 和(- , +∞);
2
a
f(x) 的单调递增区间为(0, - ).
2
a
典型例题 2
已知 a 为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f(x); (2)若 f(-1) =0, 求 f(x) 在[