第5章 平面矩形单元与平面等参单元.ppt

李建宇
天津科技大学
工程中的有限元方法
Finite Element Method in Engineering
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内容平面矩形单元与平面等参单元
1 平面矩形单元分析
2 等参单元的概念
3 平面四节点等参单元分析
要求理解:平面矩形单元分析流程
平面矩形单元与三角形单元的比较
等参单元的目的和实现方法
掌握: 等参单元分析的基本思想


课后作业收集、阅读平面8节点等参元分析资料
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连续体有限元分析的基本流程
整体
离散
单元分析
单元
组装
引入边界条件整体解算
连续体结构
人工节点
逼近离散
单元刚度方程
总体刚度方程
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连续体有限元分析中的几次近似
1. 逼近性离散(网格剖分)
2. 单元分片插值(单元分析)
几何形状,特别是边界的逼近程度。
插值多项式的项数的截取。
3. 其它
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连续体有限元分析中的几次近似
1. 逼近性离散(网格剖分)
提高精度的办法:
减小单元尺寸
改变单元形状
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连续体有限元分析中的几次近似
2. 单元分片插值(单元分析)
提高精度的办法:
增加插值多项式的项数
节点位移
内部节点位移
vm
um
vj
vi
ui
i (xi , yi)
j (xj , yj)
m (xm , ym)
e
uj
y
x
o
线性插值函数
如何增加?
增加节点
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一、平面矩形单元
矩形单元也是常用的单元之一,由于采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式,故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。
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如图所示四节点矩形单元,记单元的节点位移向量和节点力向量为:
为了能推导出简洁的结果,在这里引入无量纲坐标:
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单元位移场
由图可以看出,节点条件共有8个,因此,x和y方向的位移场可以各有4个待定系数,可以取以下多项式作为单元的位移场模式:
它们是具有完全一次项的非完全二次项,其中以上两式中右端的第四项是考虑到x和y方向的对称性而取的。
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由节点条件,在处,有
回代,可以求解出待定系数,然后整理可得
其中,N为单元的形函数矩阵,
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