2010数学建模A题 油罐问题思路.doc

2010油罐问题思路
问题一:解题的总思路是采用微元法求体积。
(1)罐体无变位时的罐容体积模型:
当油罐无变位时,取小椭圆油罐截面椭圆,建立适当
的坐标系如右图所示:
利用椭圆曲线方程,沿右半椭圆曲线对y积分,从而
求出小椭圆油截面积为,由此得出罐体体积
。
为验证模型的准确合理性:取附录一数据中的高度h代入体积公式算出对应的剩余油量理论值,将其与实际剩余值进行曲线拟合。
(2)纵向变位倾斜角时的罐容表标定模型:
同样利用积分思想求变位后的体积,
对油罐正面示意图建立相应的坐标系,如下图所示:其中
根据上图可求得横坐标油面的高度为:
根据罐油量的多少,可以将它分为三种类型讨论:
当,如右下图所示:可求得油罐量的体积为:
②当时,如下图所示:
可求得油罐量的体积为:
③当时,如图所示:
可求得油罐量的体积为:
然后进行模型的验证:由附件1实验数据中的各高度得到储油量中的理论油量,将理论油量与实际的相比较找出它的变化规律,作出误差分析,判断模型建立的合理性。
根据上述得到的储油罐发生变位时体积关于h的公式,则可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的灌容表标定值。
问题二:要得出罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度a和横向偏转角度b )之间的一般关系,只需计算出油罐内油料体积,将油罐体积分为三部分,两侧球缺体积和中间圆筒体积。
1 两侧球缺体积的计算
图3 储油罐截面示意图
(b)横向偏转倾斜后正截面图
β
地平线垂直线
油位探针
(a)无偏转倾斜的正截面图
油位探针
油位探测装置
3m
设油位高位为h,则油面到罐底的最大垂直距离H = r −(r − h) cosβ。
由下图易知
根据球缺油量的情况,可分为三种情况讨论,
(1)当