2010数学建模A题 油罐问题思路.doc

罿2010油罐问题思路蚇问题一:解题的总思路是采用微元法求体积。蒃(1)罐体无变位时的罐容体积模型:蒄当油罐无变位时,取小椭圆油罐截面椭圆,建立适当莈的坐标系如右图所示:莇利用椭圆曲线方程,沿右半椭圆曲线对y积分,从而薅求出小椭圆油截面积为,由此得出罐体体积薂。螈为验证模型的准确合理性:取附录一数据中的高度h代入体积公式算出对应的剩余油量理论值,将其与实际剩余值进行曲线拟合。肈(2)纵向变位倾斜角时的罐容表标定模型:薆同样利用积分思想求变位后的体积,蚀对油罐正面示意图建立相应的坐标系,如下图所示:其中蒁袈根据上图可求得横坐标油面的高度为:莃根据罐油量的多少,可以将它分为三种类型讨论:肃当,如右下图所示:可求得油罐量的体积为:袀薈蒅膁②当时,如下图所示:莀可求得油罐量的体积为:肅薆薃蝿③当时,如图所示:螅可求得油罐量的体积为:莃蚂腿然后进行模型的验证:由附件1实验数据中的各高度得到储油量中的理论油量,将理论油量与实际的相比较找出它的变化规律,作出误差分析,判断模型建立的合理性。薆根据上述得到的储油罐发生变位时体积关于h的公式,则可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的灌容表标定值。莅螀问题二:要得出罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度a和横向偏转角度b)之间的一般关系,只需计算出油罐内油料体积,将油罐体积分为三部分,两侧球缺体积和中间圆筒体积。蚈1两侧球缺体积的计算芆蒆膃图3储油罐截面示意图肇(b)横向偏转倾斜后正截面图肆芃β芁地平线垂直线螁油位探针螇(a)无偏转倾斜的正截面图芅油位探针蚃油位探测装置膀薇肂3m螂设油位高位为h,则油面到罐底的最大垂直距离H=r−(r−h)cosβ。蕿芇膄袀由下图易知聿肈根据球缺油量的情况,可分为三种情况讨论,膅(1)当H1≤3,H2≥0时节蒈螈羂可得出:莁袈设高为x,则h=r-x,于是:葿肄螃薁羅又因为膅此时,可得到:袂羀螅(2)当H1≤3,H2≤0时羂易得羀(3)当H1≥3蒀也易得蒆2中间圆筒部分体积的计算羄由“问题一”中椭圆部分面积公式莂衿可推出,半径为R高为t的弓形面积:芆肅同样,根据油量可将中间圆筒的体积分为三部分,蒁芈羆袃(2)螃(3)当时,此时=中间部分总体积−上部空余体,空余体积用(2)中公式计算。只是将蚈蚇综上所述,可知油罐总油量为:袄羁我们得到了罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾斜角度a和横向偏转角度b)之间函数。再利用最小二乘法对α、β的值进行估计。文燕、晓冬