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第四章常微分方程
§ 基本概念和一阶微分方程
甲内容要点


含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,若未知函数是一元函数则称为常微分方程,而未知函数是多元函数则称为偏微分方程,我们只讨论常微分方程,故简称为微分方程,有时还简称为方程。

微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解;
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解;
通解有时也称为一般解但不一定是全部解;
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。

要求自变量取某定值时,对应函数与各阶导数取指定的值,这种条件称为初始条件,满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。

微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线;而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。

如果未知函数和它的各阶导数都是一次项,而且它们的系数只是自变量的函数或常数,则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项,自由项为零的线性方程称为线性齐次方程;自由项不为零的方程为线性非齐次方程。


(1)方程形式:
通解
(注:在微分方程求解中****惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加)
(2)方程形式:
通解

(1)齐次方程
令,
则

(2)
令,
则

(3)
①当情形,先求出的解
令,
则属于齐次方程情形
②当情形,
令
则
令,
则
属于变量可分离方程情形。



它也是变量可分离方程,通解公式,(为任意常数)


用常数变易法可求出通解公式
令
代入方程求出
则得


令
把原方程化为
再按照一阶线性非齐次方程求解。
:
可化为
以为自变量,为未知函数
再按照一阶线性非齐次方程求解。
(数学一)

,满足
通解:,
其中满足
求的常用方法。
第一种:凑全微分法

把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流,就很有帮助。
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11);
(12);
(13);
(14);
(15);
(16);
第二种:特殊路径积分法(因为积分与路径无关)


第三种:不定积分法
由得

对求导,
得,
求出积分后求出
(约当因子法)
设不是全微分方程。
不满足
但是存在
使得为全微分方程,
也即满足
则称为约当因子,
按全微分方程解法仍可求出
通解。
这种情形,求约当因子是关键。
乙典型例题
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。
(1)
(2)

。
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)令,则,原方程化为
,


(注:)
(2);
令,则



,
(3),令,则

,,
(4)令,则,

。



。


。







(1) (2)
(3) (4)
解:(1)直接用常数变易法
对应的齐次线性方程为,通解
令非齐次线性方程的通解为
代入方程得
,
故所求方程的通解为
(2)直接用通解公式(先化标准形式)
,
通解

(3)此题不是一阶线性方程,但把看作未知函数,看作自变量,
所得微分方程即
是一阶线性方程,
(4)此题把看作未知函数,看作自变量所得微分方程为
,,

§ 特殊的高阶微分方程(数学四不要)