6.2等差数列典型例题及详细解答.docx

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示.

如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.

如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.

(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.

设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.

Sn=n2+n.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A、B为常数).

在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最__大__值;若a1<0,d>0,则Sn存在最__小__值.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √)
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( × )
(5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.( × )
(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( √)
1.(2015·重庆)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( )
A.-1
答案 B
解析由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,选B.
2.(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( )

答案 C
解析由题意知a1=2,由S3=3a1+×d=12,
解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,故选C.
{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于( )

答案 B
解析 S11===88.
{an}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则a1+a2+…+a7等于( )

答案 C
解析∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,
∴a1+a2+…+a7=7a4=28.
5.(2014·北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.
答案 8
解析因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>+a10=a8+a9<0,所以
a9<=8时,其前n项和最大.
题型一等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为( )
C. D.
(2)已知在等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10项和S10等于( )


答案(1)C (2)B
解析(1)由2an+1=1+2an得an+1-an=,
所以数列{an}是首项为-2,公差为的等差数列,
所以S10=10×(-2)+×=.
(2)因为a2=7,a4=15,所以d=4,a1=3,
故S10=10×3+×10×9×4=210.
思维升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.
(1)(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于( )

(2)已知等差