常见的勾股数及公式.doc

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道,如果∠C=90°,a、b、c是直角三角形的三边,则由勾股定理,得a2+b2=c2;反之,若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2,则该三角形是直角三角形,,如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,则称a、b、c为勾股数,记为(a,b,c).勾股数有无数多组,下面向同学们介绍几种:一、三数为连续整数的勾股数(3,4,5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数,除此之外是否还有第二组或更多组呢?设三数为连续整数的勾股数组为(x-1,x,x+1),则由勾股数的定义,得(x+1)2+x2=(x+1)2,解得x=4或x=0(舍去),故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。二、后两数为连续整数的勾股数易知:(5,12,13),(9,40,41),(113,6338,6385),…,都是勾股数,如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数,它的一般形式究竟是什么呢?a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(其特点是斜边与其中一股的差为1).分别取n=1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),…三、前两数为连续整数的勾股数你知道(20,21,29),(119,120,169),(4059,4060,5741)…,这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为:(x,x+1,)(x为正整数)。设前两数为连续整数的勾股数组为(x,x+1,y),y=则(*)整理,得=,化为,即=-1,又=-1,∴=-1(nN),故取=,=,解之,得x=〔+-2〕,y=〔-〕,故前两数为连续整数的勾股数组是(〔+-2〕,〔+-2〕+1,〔-〕).后两数为连续奇数的勾股数如(8,15,17),(12,35,37)…其公式为:4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整数).五、其它的勾股数组公式:a=2m,b=m2-1,c=m2+1(m大于1的整数).=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2)(其中m>n且是互质的奇数).=2m,b=m2-n2,c=m2+n2(m>n,互质且一奇一偶的任意正整数).下面我们把100以内的勾股数组列出来,供同学们参考:34 5;512 13;6810;72425;81517;9 1215;940 41;102426;116061;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15112 113;16 30 34;16 63 6517144 145;18 24 30;18 80 82;19 180 181;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 3521 72 75;21 220 221;22 120 122;23 264 265;24 32 40;24 45 51;24 70 74;24 143 14525 60 65;25 312 313;26 168 170;27 36 45;27120 123;27 364 365;28 45 53;28 96 10028 195 197;29 420 421;30 40 50;30 72 78;30 224 226;31 480 481;32 60 68;32 126 13032 255 257;33 44 55;33 56 65;33 180 183;33 544 545;34 288 290;35 84 91;35 120 12535 612 613;36 48 60;36 77 85;36 105 111;36 160 164;36 323 325;37 684 685;38 360 36239 52 65;39 80 89;39 252 255;39 760 761;40 42 58;40 75 85;40 96 104;40 198 20240 399 401;41 840 841;42 56 70;42 144 150;42 440 442;43 924 925;44 117 125;44 240 24444 483 485;45 60 75;45 108 117;45 200 205;45 336 339;46 528 530;48 55 73;48 64 8048 90 102;48 140 148;48 189 195;48 286 290;48 575 577;49 168 175;50 120 130;50 624 62651 68 85;51 140 149;51 432 435;52 165 173;52 336 340;52 675 677;54 72 90;54 240 2