基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案).docx

基本不等式及其应用


若a>0,,b>0,则≥,当且仅当时取“=”.
这一定理叙述为:两个正数的算术平均数它们的几何平均数.
注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:
(1)各项或各因式均正;(一正)
(2)和或积为定值;(二定)
(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等)

(1)a2+b2≥(a,b∈R).
(2)
注:不等式a2+b2≥2ab和≥它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、:ab≤()2.
ab≤(a,b∈R).
(4)+≥2(a,b同号且不为0).
(5)(a,b∈R).
(6)
(7)abc≤;
(8)≥;
、最小值问题
(1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a+b≥,a2+b2≥.
(2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.
设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是( )

解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥2=2=4,当且仅当a=b=时取等号,故选B.
若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )
A.
解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2,即ab≤.当且仅当a=1,b=.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )
<v< =
C.<v< =
解:设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a<b,∴v==<=.
又v-a=-a=>=0,∴v>.
()若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.
解:由xy=1得x2+2y2=x2+≥2,当且仅当x=±.
点(m,n)在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动,则log2m+log2n的最大值是________.
解:由条件知,m>0,n>0,m+n=1,
所以mn≤=,
当且仅当m=n=时取等号,
∴log2m+log2n=log2mn≤log2=-2,故填-2.
类型一利用基本不等式求最值
(1)求函数y=(x>-1)的值域.
解:∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0,且y==m++5≥2+5=9,当且仅当m=2时取等号,故ymin=9.
又当m→+∞或m→0时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞).
(2)下列不等式一定成立的是( )
>lgx(x>0) +≥2(x≠kπ,k∈Z)
+1≥2(x∈R) D.>1(x∈R)
解:A中,x2+≥x(x>0),当x=时,x2+=x.
B中,sinx+≥2(sinx∈(0,1]);
sinx+≤-2(sinx∈[-1,0)).
C中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R).
D中,∈(0,1](x∈R).故C一定成立,故选C.
点拨:
这里(1)是形如f(x)=的最值问题,只要分母x+d>0,都可以将f(x)转化为f(x)=a(x+d)++h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.
(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在.
(1)已知t>0,则函数f(t)=的最小值为.
解:∵t>0,∴f(t)==t+-4≥-2,
当且仅当t=1时,f(t)min=-2,故填-2.
(2)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(Ⅰ)xy的最小值;
(Ⅱ)x+y的最小值.
解:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,
则1=+≥2=,得xy≥64,
当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.
(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=,∵x>0,∴y>2,
则x+y=y+=(y-2)++10≥18,
当且仅当y-2=,即y=6,x=12时等号成立.
解法二:由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当y=6,x=12时等号成立.
类型二利用基本不等式求有关参数范围
若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )
∈M,0∈M ∉M,0∉M
∈M,0∉M ∉M,0∈M
解法一:求出不等式的解集:(1+k2)x≤