基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题含答案.docx

基本不等式及其应用

1．基本不等式
若a〉0，，b>0，则≥，当且仅当 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．
注:运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：
(1)各项或各因式均正；(一正）
(2)和或积为定值；（二定)
(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．(三相等）
2．常用不等式
（1）a2＋b2≥(a，b∈R）．
(2)
注：不等式a2＋b2≥2ab和≥它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、:ab≤（)2.
ab≤ (a,b∈R)．
（4）＋≥2(a，b同号且不为0)．
（5）（a，b∈R）.
（6）
(7)abc≤;
（8)≥；
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1）求最小值:a>0,b>0，当ab为定值时,a＋b，a2＋b2有 ，即a＋b≥ ，a2＋b2≥ 。
（2）求最大值：a＞0，b＞0,当a＋b为定值时，ab有最大值，即 ；或a2＋b2为定值时,ab有最大值(a＞0，b＞0），即 。
设a,b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是（　　)
A。6 D。2
解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥2＝2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故选B.
若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为（　　)
A。 D。4
解：∵a＞0，b＞0,a＋2b＝2,∴a＋2b＝2≥2,即ab≤.当且仅当a＝1,b＝时等号成立。故选A.
小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b),其全程的平均时速为v,则(　　)
＜v＜ B。v＝
C.＜v＜ D。v＝
解:设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b,∴v＝＝＜＝.
又v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a。故选A.
（）若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________。
解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2,当且仅当x＝±。
点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.
解:由条件知，m＞0，n＞0,m＋n＝1，
所以mn≤＝，
当且仅当m＝n＝时取等号，
∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2,故填－2.
类型一　利用基本不等式求最值
　（1)求函数y＝（x＞－1）的值域。
解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1,则m＞0,且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9。
又当m→＋∞或m→0时,y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞）.
(2)下列不等式一定成立的是(　　）
A。lg>lgx（x>0） ＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
＋1≥2(x∈R) D。〉1(x∈R)
解：A中，x2＋≥x（x＞0)，当x＝时，x2＋＝x.
B中，sinx＋≥2（sinx∈（0，1］）；
sinx＋≤－2(sinx∈［－1，0)).
C中,x2－2｜x｜＋1＝(|x|－1）2≥0(x∈R)。
D中,∈（0，1](x∈R)。故C一定成立，故选C。
点拨:
这里（1）是形如f（x)＝的最值问题，只要分母x＋d＞0,都可以将f(x）转化为f（x)＝a（x＋d）＋＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值）,再利用基本不等式求其最值。
（2）牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.
　(1）已知t＞0，则函数f（t）＝的最小值为 。
解：∵t＞0，∴f(t)＝＝t＋－4≥－2，
当且仅当t＝1时，f（t）min＝－2,故填－2。
（2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
（Ⅰ)xy的最小值；
(Ⅱ)x＋y的最小值.
解:（Ⅰ）由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0,y＞0,
则1＝＋≥2＝，得xy≥64,
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.
(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0,得x＝,∵x＞0，∴y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6,x＝12时等号成立.
解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·（x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18,当且仅当y＝6