第三讲 怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律.doc

怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律
一、量等量异号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律
高中物理静电场部分****题中往往要用到真空中两个等量异号点电荷的连线上场强E
的变化规律和连线的中垂线上场强E的变化规律。来考查两个场强矢量叠加的问题。下面阐述就此问题总结的两个规律的内容及其分析方法和过程。
如图1所示,真空中两个等量异号点电荷的电量分别为、,连线为线段AB,MN为AB中垂线,垂足为O。
。
中垂线MN上各点场强的方向,可由电场线法或两点电荷在MN上各点产生的场强、
图1
按量矢量合成的平行四边形定则进行合成,通过画图可得到MN上所有点合场强E的方向都与OB平行且由A指向B,那么E的大小有什么变化规律呢?
很多资料上用电场线的疏密结合平行四边形定则,作出合场强E的图形来定性的讨论总结E的大小变化规律,得出以上结论。
结论1 中垂线上O点处的E最大,沿射线OM、射线ON方向E都逐渐减小,至无穷远处E变为零。
证明:如图1所示,中垂线上任意一点C,令OC=y,AB=L,在和中,有
、在C点处的场强大小分别为和,且
显然以、为邻边作的平行四边形是菱形,且对角线代表的此点的和场强//AB
且。
在中,有
对上式进行讨论,因式中k、q、L是常量,所以有:
当y=0时,有最大值,且,即中垂线上垂足O处的场强最大;
当y变大时, 分母逐渐变大,那么的值因单调递减而逐渐变小;
(3) 当y∞时,即中垂线上距离O点无穷远处的位置E变为0,几乎不存在电场。
从上述分析可以证明结论1变化规律的正确性。
图2

此规律的总结如果仍用电场线理论和两场强矢量的叠加进行作图比较,归纳不出结论。但用类比的方法,把分子动理论中分子间相互作用的引力和斥力随距离变化的规律引用过来,就可以轻松准确地突破思维难关。
如图所示,当分子间的距离时,分子间的引力和斥力相等,即。当时,分子间的引力和斥力都要随着距离的增大而减小,但斥力比引力要减小得快,总体表现为分子间的引力。当时,分子间的引力和斥力都要随着分子间的距离的减小而增大,但斥力比引力增加得快,总体表现为分子间的斥力。
现在进行类比:如图1所示,在中点O处,有
由点电荷的场强公式,即
可知与成反比,那么从O开始沿OA方向每移动一个小微元段,就有在D点产生的场强增大,在D点处产生的场强减小,但是增加得快,而减小得慢,即D点移动同样的距离,随增加量比的减小量大,D点的合场强一定要变大,即可得出从O点开始沿OA方向,OA上各点的场强要逐渐变大。同理从O点开始沿OB方向分析,每移动相同的距离段,减小得慢,增加得快,各点的合场强也是逐渐变大。由此可得到以下规律。
结论2 在等量异号的两个点电荷间的连线上,两端点处场强最大,中点处场强最小。不论由A到B方向上的点,还是由B到A方向上的点,它们场强大小的变化规律总是先减小后增大。
证明:如图1所示,在线段AB上任取一点D,令AD=x,则BD=L-x,在D点产生的场强为
在D点处产生的场强
由于、方向相同,且在同一条直线上,在D点处的合场强为
为了讨论随x的变化规律,现对函数求导,得
下面对导函数进行讨论:
图3
(1)当时,,则在上,原函数为