高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全.doc

1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置:
A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);
D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).
解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限;
点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢?
答: 在xOy面上的点,z=0;
在yOz面上的点,x=0;
在zOx面上的点,y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢?
答:x轴上的点,y=z=0;
y轴上的点,x=z=0;
z轴上的点,x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离:
(1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4);
(3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3).
解:(1)
(2)
(3)
(4) .
5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).
故
.
6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.
解:设此点为M(0,0,z),则
解得
即所求点为M(0,0,).
7. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明:因为|AB|=|AC|=
|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.
故△ABC为等腰直角三角形.
8. 验证:.
证明:-1
图7-1
9. 设试用a, b, c表示
解:
10. 把△ABC的BC边分成五等份,设分点依次为D1,D2,D3,D4,再把各分点与A连接,试以,表示向量,,和.
解:
11. 设向量的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影.
解:设M的投影为,则
12. 一向量的终点为点B(2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A的坐标.
解:设此向量的起点A的坐标A(x, y, z),则
解得x=-2, y=3, z=0
故A的坐标为A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是P1(4,0,5),终点是P2(7,1,3),试求:
(1) 在各坐标轴上的投影; (2) 的模;
(3) 的方向余弦; (4) 方向的单位向量.
解:(1)


(2)
(3)

.
(4) .
14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦.
解:R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)
15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模,并分别用单位向量来表达向量a, b, c.
解:
16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
解:a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k
在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.
:设则有

求得.
设在面上的投影向量为则有
则
则求得
又则
从而求得或
18. 已知两点M1(2,5,-3),M2(3,-2,5),点M在线段M1M2上,且,求向径的坐标.
解:设向径={x, y, z}
因为,
所以,
故={}.
19. 已知点P到点A(0,0,12)的距离是7,的方向余弦是,求点P的坐标.
解:设P的坐标为(x, y, z),
得
又
故点P的坐标为P(2,3,6)或P().
20. 已知a, b的夹角,且,计算:
(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b).
解:(1)a·b =
(2)

21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算:
(1)a·b; (2) (2a-3b)·(a + b); (3)
解:(1)
(2)
(3)
22. 已知四点A(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6),求向量在向量上的投影.
解:={3,-2,-6},={6,2,3}
23. 若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.
解