第五公设与平行公理的等价证明.doc

第五公设问题

1795年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题,它的直观明显性比第五公设好些,通称欧几里得几何平行公理:通过直线外一点有唯一直线与该线平行.
先证第五公设蕴涵平行公理.
设为平面上一已知直线,是不在上的任一已知点,求证有唯一直线通过而与不相交.
作于点,用表示在与垂直的直线,则不可能与相交,否则将构成一三角形,,,可知必与在这一侧相交.
再证平行公理蕴涵第五公设.
设直线被直线所截,在一侧的内角之和
(表直角),
从而另一侧内角和
.
通过跟的交点引直线,使其与所成的角满足
.
于是,所以,因为若跟相交,要得出与外角定理相矛盾的结果.
由假设通过的交点只有一直线与平行,,这可从以及外角定理立即得出.
萨开里的试证
1733年意大利数学家萨开里出版了名为《免除一切污点的欧几里得》,这里“欧几里得”指《原本》.在这里他对第五公设的试证工作发展得相当远,,高斯、(1835——
1900年)才指出,一般归之于勒戎得、罗巴切夫斯基、波里埃的一些定理,萨开里已发现过了.
他讨论一种四角形被称为“萨开里四角形”,两下底角是直角,两侧边相等:

定理1 在四边形中,若
且,则

证明我们只需取下底的中垂线为对称轴折叠即得.
由此推出
即是说:萨开里四角形两底中点的联线是两底的中垂线.
定理2 设四边形中,且,则.
证明延长至使,则按定理1有



萨开里关于他的四角形曾做过三种假设:
⑴锐角假设:,于是推出,并且三角形的内角和小于二直角.
⑵直角假设:,于是推出,并且三角形的内角和等于二直角。.
⑶钝角假设:,于是推出,并且三角形的内角和大于二直角.
由于推理步骤相似,我们只就锐角假设讨论.
定理3 在锐角假设下有.
证明既然假设,
又由定理1
于是鉴于定理1和蔼从四角形得

故有,即.
定理4 在锐角假设下,三角形的内角和小于两直角.
证明由于一个三角形可分解成两个直角三角形,,如图作并取,,现在就和看,有两边相等而第三边不等,所以,从而有
(作图)
所以
萨开里证明过,只要在一个萨开里四角形中,上底角是直角,,所以只要将锐角假设也导致矛盾,,尽管这些命题与我们的直观不相符,却找不到一个逻辑矛盾。但在一连串正确推理以后,他发现倘若锐角假设成立,那么无限地接近的两直线在无穷远点应有共同的垂线,他认为这是
“与直线的本质抵触的.”,他本人也感到锐角假设的逻