第五公设与平行公理的等价证明.doc

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第 6章 几何公理法简介
第五公设问题
普雷菲定理
1795 年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题， 它的直观明显性比第五公设好些，
通称欧几里得几何平行公理：通过直线外一点有唯一直线与该线平行．
先证第五公设蕴涵平行公理．
设u为平面上一已知直线， M是不在u上的任一已知点，求证有唯一直线通过 M而与
u 不相交．
作MN u于点N，用u'表示在M与MN垂直的直线，则u'不可能与u相交，否则 u,u',MN将构成一三角形，. 再设u'是通过M与 u'相异的任一直线，那么 u''必然在直线 MN的某一侧跟 MN组成锐角•应用眼前的假设第 五公设于两直线u, u''及截线MN，可知u''必与u在这一侧相交.
再证平行公理蕴涵第五公设．
设直线a,b被直线c所截，在c一侧的内角之和
2 1 2d （ d 表直角），
从而另一侧内角和
1 2 2d .
通过a跟c的交点引直线a',使其与c所成的角 1, 2满足
2 1 2d, 1
2 2d .
于是1 2d 2 i，所以a'b ,因为若a'跟b相交，要得出与外角定理相矛盾的结果.
由假设通过a,c的交点只有一直线与 b平行，所以与a'
证明a和b相交于2和i所在的一侧，这可从i 2d 2 i以及外角定理立即得出.
632 萨开里的试证
i733 年意大利数学家萨开里出版了名为 《免除一切污点的欧几里得》 ,这里“欧几里得”
指《原本》.在这里他对第五公设的试证工作发展得相当远,
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的时刻他再推进一步， 高斯、 波里埃和罗巴切夫斯基的发现就可提前一世纪． 他的后继人也
没做这样的工作．似乎他的工作被人遗忘了．后来意大利有名的数学家倍尔脱拉米（ 1835 —— 1900 年）才指出，一般归之于勒戎得、罗巴切夫斯基、波里埃的一些定理，萨开里已 发现过了．
他讨论一种四角形被称为“萨开里四角形” ，两下底角是直角，两侧边相等：
AC BD, A B d.
定理 1 在四边形 CABD 中，若
A B d 且 AC BD ，则
C D.
证明 我们只需取下底 AB的中垂线KL为对称轴折叠即得.
由此推出 KLC KLD d,CL LD
即是说：萨开里四角形两底中点的联线是两底的中垂线．
定理 2
设四边形ABCD中
A
B d，且 AC
BD ，则 C D •
证明
延长 AC 至 C 使 AC
BD ，
则按定理
1有
C C DB
D
又在
DCC 应用外角定理得
C
C •所以
CC
D
萨开里关于他的四角形
CABD 曾做过三种假设：
⑴
锐角假设： C
D d，
于是推出
CD
AB ，
并且三角形的内角和小于二
直
角.
⑵
直角假设： C
D d，
于