Kronecker积及其应用.doc

陈蔚(集美大学理学院数学系2005届,厦门361021)[摘要]本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker积,通过对概念的引入,性质、定理的推导,简单地体现出矩阵的Kronecker积在求解几类矩阵方程中的应用。[关键词]Kronecker积,特征值,拉直,矩阵方程,+矩阵方程,-矩阵方程,矩阵微分方程0、引言众所周知,我们学****到的矩阵运算中,普遍提及的均是乘积问题,两矩阵可以相乘的条件是:前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数,如果不满足这个条件,则我们就无法求解这两个矩阵的乘积,,、性质、应用,[1-11],,则称如下的分块矩阵为与的Kronecker积(也称为直积或张量积).是一个块的分块矩阵,所以上式还可以简写为=.,,=,=.这个例子表明,矩阵的Kronecker积与乘积一样不满足交换律,即≠.矩阵的Kronecker积的性质、,,则(1). (2).()=().=,=,=,=,则()()=.证()()=====.(1)=.(2)=.上面两个式子只要等号右边有意义,则左边也有意义,,为阶矩阵,则=.—,,、都可逆,则也可逆,,, ,∴.,且均可逆(=1,2,…),=2时,:=时,=+1时,,有:==,从而, .、:=.、均为上(下)三角矩阵,则也是上(下)、均为对角阵,、均为对称矩阵,,即满足:.、均为酉矩阵,,即满足:.、均为Hermite矩阵, 设=,=,则,.=,=,则rank()==,rank=.对矩阵,必存在可逆矩阵、,使得,其中=.对矩阵,必存在可逆矩阵、,使得,其中=.:==.:、仍为可逆矩阵.∵矩阵乘以可逆矩阵后,其秩不变.∴rank()=rank()==,是个线性无关的维列向量,则个维列向量(=1,2,…,;=1,2,…,),若向量组(=1,2,…,;=1,2,…,)线性无关,,=()=,==,则有rank=,rank=.∵=,∴()==.又∵是×矩阵,∴是列满秩矩阵,,若列向量组是线性无关的,则是列满秩的,∴rank()===,rank=.假设rank<,则rank必>,矛盾.∴有rank=.同理,得:rank=.即、为列满秩的矩阵.∴,为阶矩阵,、矩阵的Kronecker积的特征值考虑由变量、组成的复系数多项式和阶矩阵其中,为阶矩阵,,把写成:=,于是,.特别地,若=,,为的对应于的特征向量;是阶矩阵的特征值,是的对应于的特征向量,则个数2,…,为的特征值,:.∴====.,,()的特征值为,,的特征值为,:对矩阵,我们将其称为矩阵和的Kronecker和(或称为直和),,特征值为;为阶矩阵,特征值为,:=.:,且,:相似于,即,∴.,特征值为;为阶矩阵,特征值,∵tr=,=,=,=,记,令=,则称为矩阵A的列拉直(列展开).定义4.