台阶设计.doc

,楼梯是我们日常生活中常见的,天天行走的建筑结构,良好的台阶设计不仅可以节省上楼时间,也可最大限度的减少体力消耗。然而,不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力,甚至还会发生危险。所以我们不禁要问,怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢?(下文主要针对上楼过程给出讨论,下楼的讨论在最后涉及)作为解决问题的第一步,我们首先来证明这个最佳设计的存在性,下面两张图为两种不同类型的台阶保持总高度,台阶宽度,体力消耗一定时令台阶高度h充分小,则台阶数目会充分大,最终上楼时间t趋于无穷。因此我们是不会去登此楼梯的。再令h充分大,而人腿运动能力是有限的,由于每一步做功的增加势必会造成登楼时间的集聚增长,这种h我们同样无法接受。由于各种状态的连续变化,我们就可以断定,存在这样一个h,使得t最小。同理,台阶长度r很小时,人无法站稳,r充分大时,时间t趋于无穷。所以我们便有充足理由相信最优的r,h皆存在。分析到这里只是依赖于感性的认识与几何的直观,下面我们将用数学的观点给出尽可能合理的解答。:M人体质量g重力加速度l人的小腿长度v人的正常行走速度F上楼过程中腿部力量H楼梯总体高度h台阶高度r台阶长度P人体登上高度H的楼梯时最舒适的输出功率C人的脚长要细致而全面的分析此问题,可以将人登楼的全过程分解处理,将上楼的每一步设为一个单元,那么可以粗略的绘制出人体运动过程的简图。并考虑到上楼是个非常复杂的人体动力学过程,为了抓住主要矛盾并简化问题,一些人为的假设将是必要的。模型的假设:1,人每走一步脚的前端接触到B点。2,人的所有重量可以看成质点并集中在O(与集中在N是等价的),其他部位没有重量3,每一步迈出同样的距离(台阶宽),并且连续前进。4,人体上升的力量全部来自支撑腿的力F,F与h有关且在h取定的情况下F大小不变且始终保持ON方向。5,上台阶过程做功只在DN段,并且人总是以所谓最舒适的感觉(P恒定)上楼。6,台阶宽度大于等于脚长运动的分解:可以将登上台阶看为两个运动过程1.(由M到N)人若想登上台阶,向前倾斜重心将是第一步,毕竟人是前进的。要在D点发力,将M点移动到N点将是合理的。而且此过程与人在平地行走时的状态非常接近(这里将它们等同看待,速度也为v,v的方向近似水平)。为了简化计算,可以令此段做功充分小从而可以忽略(因为我们的主要矛盾是上楼,此段做功的变化也是相当于平地上走5米与10米的区别,而这种差别在正常人看来是微乎其微的)2.(N点竖直向上达到直立并回到初始状态)在此过程中所做的功为F的贡献(这里腿部的屈申很类似课堂上铅球投掷模型中球的出手过程,因为当时的主要矛盾为球的初速度,所以可以将其近似看做线性关系,然而此时的重点是这个屈申过程,因此假设与模型机理自然不同)。随后根据生物课所学知识,可以知道,人腿的运动都是靠肌肉细胞的伸缩变化产生伸缩力的(伸缩方向只能沿腿的方向),因此这里可以将所有肌肉的发力等效看为一个力,方向总是沿着腿的方向,大小恒定(实际上F要随着角度的变化而变化,为了简化问题可以将其设为恒定)。由于考虑到人在2过程上升时做的功实际为非保守力所做功(并不是w=mgh),一个很简单的直观,就是同样登上两米的高度我们分10步与分2步腿部做功一定不同。造成这种差异的根源在于腿的承重能力与发力方向角度的大小(也就是说台阶越高,我们所做的额外功越多)。所以要去用数学的观点度量所谓“腿部做功”这个概念,假设4将是必要的。其次我们要去度量所谓“舒适”与“疲劳”的概念。通常,在短距离内造成我们疲劳的主要原因实际为腿的运动强度过高,即功率P过大。这就使我们度量“舒适”成为可能。:首先所谓“正常速度”就是一个模糊概念,但又是客观存在的,为了尽可能得到人正常行走时的速度并要求误差尽量的小,所以这里采用多次测量的方法。并且需要亲自进行实验。恰好家附近的楼门口的地面由方砖铺成,每块砖为正方形,。这就为距离的测定提供了方便。用最大自控能力以正常速度行走,规定走过五块砖时开始记时并规定这点为距离零点(为了将加速段去掉)。最终得到11组数据距离(米)时间(秒)。一次多项式为y=+,,,都是可以精确测量的。唯有功率P未知,但由于我们假定它的大小不变,所以在随后的模型求解中可以根据关系式将其反解出。