储油罐体积油量计算.pdf

卧式加油灌剩余油料体积的计算







西安交通大学理学院

王郑耀
http://wangzhengyao.


2004-8-8
1. 问题的提出
随着社会经济的发展,汽车逐渐普及,路边上加油站的数目也不断增加。一
般加油站都使用卧式油罐(如图1)存储油料。从图上可以看到,这种卧式油罐
是由一个圆柱(如图1,记长为 L,半径为2R)和两个相同的球缺(如图1,
球却半径 r,截球缺的大圆的直径是 2R,显然 r>R)焊接而成的。现在的一个问
题是,如何计算油罐中所剩油料的体积。这个问题在加油站管理中有很重要的意
义。

图1 卧式油罐
经典的方法是:通过长度测量工具在油罐上部的开口处向下测量油罐中油料
的垂直高度 h(如图2),然后查表得到体积。本文现在所要做的正是这个表格
的建立。现在问题的困难在于,虽然我们可以测量得到参数 R 的值,但是不知
道油罐的其他两个参数,也就是图1,2 中的 r 和 L。

图 2 体积的测量
另外,大量的油料的体积随着温度的变化是明显的。为了消除温度的影响,
我们还得考虑油料的体积随温度变化的关系。一般的说,采用经验公式:
2
VVt =×20 [1+(t−20)] (1)
这样,我们可以将体积全部化为温度 20 度时的数据,然后进行计算。
2. 体积模型的形成
本章在假设已知参数 R , r 和 L 的条件下,推导储油罐剩余油料高度为
h ( 0≤≤h2R)时体积的计算公式。
为了计算简单,先计算如图3所示灰色部分的体积。

图3 体积计算的模型
分两部分:
(1)计算中间圆柱体部分所剩余油料的体积V1 。
这部分相当于圆柱体的一部分。

图4 圆柱部分油料剩余体积的计算
显然,
VL1 = iS截面(2)
只需要计算截面面积 S截面。利用微积分,
3
22
dS截面=2 R −h dh (3)
计算定积分
22
h ⎡⎤
22 22 2 hR− h
SR截面=−hdh=hR−h−RArcTan⎢⎥(4)
∫0 22
⎣⎢ hR−⎦⎥
所以,
⎡ 22⎤
22 2 hR− h
V1()h ==LiS截面 Lh R −h −LR ArcTan ⎢ 22⎥(5)
⎣⎢ hR−⎦⎥
(2)计算两端球缺部分所剩余油料的体积V2
由于左右是对称的,所以我们只需要计算其中一个。

图 5 球缺部分油料剩余体积的计算
同前面一样的思路,先计算水平截面的面积 S水平(h),然后在垂直方向上对 h
积分:
h
VS= ()hdh (6)
2 ∫水平
0
4
下面求 S水平(h):
22
如图 6,球的水平截面是一个圆,半径 rrh = − h,

图 6 水平截面的半径
如图7, S水平(h)就是阴影部分的面积。

图7 水平截面的面积
显然,
22
rh rh−
Sh()=−2 r22sds=2 r2−h2−s2ds
水平∫∫h (7)
rH−−rH
计算得
⎛⎞
221 22 22 rH−(8)
Sh水平()=−(Hh) 2Hr−h−H+π()r−h+(h−r)ArcTan⎜⎟
2 ⎝⎠2Hr −−h22H
5
从而
h
Vh()= S ()hdh
2 ∫水平
0
h 1 ⎛⎞rH−
=−()H h 2Hr −h22−H +π r 2−h2+h2−r 2ArcTan dh
∫()() ⎜⎟22
0 2 ⎝⎠2Hr −−h H
ππhr2 h3222Hh Hrh−−H22hr2Hrh−−2H2
=−+ −
2 63 3
HH32−+32rr3 ⎛⎞h
− ArcTan⎜⎟
3 ⎝⎠2Hr −−h22H
(9)
hh3 −−3 r2 ⎛⎞rH
− ArcTan⎜⎟
3 ⎝⎠2Hr −−h22H
2r3 ⎛⎞hr()− H
+ ArcTan⎜⎟
3 ⎝⎠rH2 r−−h22H
于是,得到了图3所示部分的体积计算公式
Vh()=+V12()h 2V(h)
另外,参数 H 并不是独立的。事实上,如图8可以看出,它可以由r和R计
算得到。

图 9 H 的计算
利用勾股定理,
2 22
()rH−+R=r (10)
则可以计算得到:
6
H =−rr2−R2 (11)
将