高等代数课件－第七章 线性变换.ppt

高等代数课件
陇南师范高等专科学校数学系
2008年制作
第七章线性变换
线性变换的定义及性质
线性变换的运算
线性变换的矩阵
不变子空间
线性变换的本征值和本征向量
线性变换的定义及性质
假定V和W是数域F上的向量空间.
定义1 设是V到W的一个映射, 如果满足下列条件, 则称是一个从到的线性映射:
(i) 对于任意, V, (+)= ()+ ();
(ii) 对于任意aF, V, (a)=a().
可将定义1中条件(i),(ii)换成下面一个条件:
(iii) 对任意, V, 任意a, bF, (a+b)=a()+b().
例 1 对于R2中的每一个向量=(x1, x2)定义
()=(x1, x1x2, x1+x2)R3,
则是一个线性映射.
例 2 令H是V3中经过原点的一个平面. 对于V3中的每一个向量, 令()表示在H上的正射影. 则是V3到V3的一个线性映射.
与向量空间同构
的定义比较
例 3 令A是数域F上的一们mn矩阵, 对n元列空间Fn中的每一
向量= 规定: ()=A. 则()是一个m元列向量, 即()Fn. 容
易证明是一个从Fn到Fm的线性映射.
例 4 令V和W是数域F上的两个向量空间. 对于V中的每一向量,令W的零向量与它对应. 容易看出这是V到W的一个线性映射, 称之为零映射.
例 5 设V是数域F上的向量空间. 取定F中的一个数k. 对于任意V,令()=k. 则是V到自身的一个线性映射. 称为V的一个位似.
例 6 取定数域F中的n个数a1, a2, …, an. 对于Fn中的每一个向量=(x1, x2, …, xn), 定义()=a1x1+a2x2+…+anxnF. 则是从Fn到F的一个线性映射. 称为F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型.
例 7 F[x]上的求导运算是F[x]到自身的一个线性映射.
例 8 对每一f(x)C[a, b], 规定. 则是C[a, b]到自身的一个线性有映射.
线性映射把零向量映射为零向量.
(a11+a22+…+ann)=a1(1)+a2(2)+…+an(n).
设是向量空间V到W的一个线性映射. 如果VV ,则称W的子空间{()| V}是V在下的象, 记作(V). 如果WW ,则称V的子空间{| ()W}是W在下的原象, 记作1(V).
设是向量空间V到W的一个线性映射. V是V 的子空间, W是W的子空间. 则V在下的象是W的子空间, W在下的原象是V的子空间.
特别地, 向量空间V在下的象是W的子空间, 称其为的象, 记作 Im(). W的零子空间{0}在下的原象是V的子空间, 称其为的核, 记作 Ker(), 即Ker()={| ()=0}.
设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有
(i) 是单射Im()=W.
(i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射.
设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :V:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射1, 则1是从W到V的线性映射.
线性变换的运算
设V是数域F上的向量空间. V到自身的一个线性映射称为V的一个线性变换. 用L(V)表示V的一切线性变换的集合.
零变换: V到自身的零映射称为V的零变换, 记作, 显然L(V).
单位变换: V到自身的恒等映射称为V的单位变换, 记作, 显然L(V).
负变换: L(V), 的负变换是指V到V的映射
: |().
变换的加法: ,L(V), 定义V到V的映射+为
+: |()+().
容易说明+L(V). 称为变换+为变换与的和.
变换的减法: ,L(V), 定义变换与的差为=+().
变换的纯量乘法: L(V), kF. 定义V到V的映射
k: | k().
则kL(V), 称它为k与的积.
可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足下列规律:
+=+
(+)+=+(+)
+=
+()=
k(+) = k+k
(k+l)= k+l
(kl)= k(l)
1=
其中, , 是