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近世代数
第三章环与域
§3 循环环、剩余类环
7/14/2017 14:31
二、模m的剩余类环
1. 剩余类环的构造:
,规定
,则
关于剩余类的加法与乘法构成
为大于1 的正整数, 则有
设
一个有单位元的交换环.
7/14/2017 14:31
2. 剩余类环的性质
定理1 设
,则
为
的零因子
(1)
(2)
为
的可逆元
证:(1)若
为
的零因子,则存在
,使得
,故
.若
,则
,所以
,
.
反之,如果
, 设
,则
,所以
,但
,于是
是零因子.
7/14/2017 14:31
(2)若
为
的可逆元,则
,即
于是,
,使得
,也就是
,所以
反之, 如果
,则
,因此,
,故
可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
7/14/2017 14:31
例 2
解(1)
(2)
直接计算可知,相应的逆元为
全部零因子:
全部可逆元:
(3)
全部子环:
(4)
各子环特征:
7/14/2017 14:31
定理2
为无零因子环
为素数.
为素数,若
,则
,
或者
,即
若
不是素数,则
证:设
为无零因子环.
为有零因子环.
7/14/2017 14:31
定理3
为域
为素数.
(有限无零因子环是除环)
7/14/2017 14:31
练****br/>求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部
子环及子环特征、单位群.
7/14/2017 14:31

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