数学建模实例.ppt

第五章微分方程模型
传染病模型
经济增长模型
正规战与游击战
药物在体内的分布与排除
香烟过滤嘴的作用
人口预测和控制
烟雾的扩散与消失
万有引力定律的发现
动态模型
描述对象特征随时间(空间)的演变过程
分析对象特征的变化规律
预报对象特征的未来性态
研究控制对象特征的手段
根据函数及其变化率之间的关系确定函数
微分方程建模
根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律或用类比法建立微分方程
传染病模型
问题
描述传染病的传播过程
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型
已感染人数(病人) i(t)
每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
模型1
假设
若有效接触的是病人,则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
建模
?
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别为
2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病
建模
~ 日
接触率
SI 模型
模型2
1/2
tm
i
i0
1
0
t
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
Logistic 模型
病人可以治愈!
?
t=tm, di/dt 最大
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染
增加假设
SIS 模型
3)病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模
~ 日接触率
1/~感染期
~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数。
模型3
i0
i0
接触数=1 ~ 阈值
感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数
1-1/
i0
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i
di/dt
0
1
>1
0
t
i
>1
1-1/
i
0
t
1
di/dt < 0
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统,称移出者
SIR模型
假设
1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为
2)病人的日接触率, 日治愈率,
接触数= / 
建模
需建立的两个方程
模型4
SIR模型
无法求出
的解析解
在相平面上
研究解的性质