均值不等式常见题型整理.doc

:如果a﹑b∈R+,:如果a﹑b∈R+,:如果a﹑b∈R,那么a2+b2≥(当且仅当a=b时,取“=”)蚅均值定理:如果a﹑b∈R+,那么≥(当且仅当a=b时,取“=”)芆均值定理可叙述为::,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。蒇注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值;肅(3)各项或各因式都能取得相等的值。,必须保持每次取“=”号的一致性。蝿有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。腿常见题型:螄1、分式函数求最值,如果可表示为的形式,且在定义域内恒正或恒负,则可运用均值不等式来求最值。薀例:求函数的最小值。膀解:薆当即x=0时等号成立,薃2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。蚀例:已知,求的最小值。薁解法一:莈思路二:由变形可得然后将变形。薅解法二:螀可以验证:两种解法的等号成立的条件均为。蚇此类题型可扩展为:螆设均为正数,且,求的最小值。莄,等号成立的条件是。袀3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情况都给出来x的取值范围,根据取值范围来进行逆向转换。肈例:求函数的最小值。蒈思路:由于所给函数的形式为无理式,直接求解较困难,从所给区间入手,可得一个不等式(当且仅当或时取等号),展开此式讨论即可。膃解:即膄得葿4、不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当时,同时除以ab得或。羆例:已知a,b,c均为,求证:。膆证明:均为正数,,芃总之,均值不等式是高中数学的重要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时,不论怎样变形,均需满足“一正二定三相等”的条件。袀【巩固练****蚈1、若求函数最值。答案:羅2、求函数的值域。答案:[-3,0]莃3、已知正数满足求的最小值。答案:芁4、已知为正数,且,求的最小值。答案:肆5、若,求的最小值。答案:蚄6、设为整数,求证:。蒃三、利用不等式解题的典型例题解析:蒈题型一:利用均值不等式求最值(值域)袈例1、(1)已知,求的最小值蒃(2)已知,求的最大值薃变式1:1、若,求的值域衿2、函数的最大值为芅变式2:1、已知且,求的最小值蒆2、,求的最小值蚃3、当为正常数时,求的最小值芀变式3:1、函数的图象恒过定点,若点A在直线上,其中,则的最小值为羇2、求的最小值为芄3、已知的最小值为蚃变式4:1、已知都是正实数,且蚀(1)求的最小值蒅(2)求的最小值肃题型二:利用均值不等式证明不等式螃例2、已知,求证:螇(1)***(2)袂(3)袃变式5:1、已知且不全相等,求证:膈2、已知,且,求证:蚅3、已知,求证:袅题型三:利用基本不等式解应用题羂例3、某食品厂定期购