均值不等式常见题型整理.docx

均值不等式一、 :如果 a﹑b∈R+,那么 :如果 a﹑b∈R+,那么 :如果 a﹑b∈R,那么 a2+b2≥ (当且仅当 a=b 时,取“=”)均值定理:如果 a﹑b∈R+,那么均值定理可叙述为::a + b2≥                (当且仅当 a=b 时,取“=”)(1)ab £a2 + b22;æ a + b ö£ç    ÷  ;+  ³(2)(3)b  aa b2è 2 ø(ab > 0);a + b ö(4)æç   ÷   £(5)è 2 ø2;.£ 2 (a2 + b2 ),“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式都能取得相等的值。,必须保持每次取“=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。二、 常见题型:1、分式函数求最值,如果 y = f (x) 可表示为 y = mg(x) +Ag(x)+ B 的形式,且 g(x) 在定义域内恒正或恒负, A > 0, m > 0, 则可运用均值不等式来求最值。例:求函数 y =ax 2 + x + 1x + 1(x > -1且a > 0) 的最小值。解: y =ax 2 + x + 1x + 1= ax +1 - ax + xx + 1= ax + (1 - a) +ax + 1= a(x + 1) +ax + 1+ 1 - 2a ³ 2a + 1 - 2a = 1该资料由书利华教育网【理提供当 a(x + 1) =ax + 1即 x=0 时等号成立,\ ymin = 12、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。例:已知 a > 0, b > 0,且1a+9b= 1 ,求 a + b 的最小值。解法一: a + b = 1 + 9 +ba+9ab³ 10 + 2 9 = 16思路二:由1a+9b= 1 变形可得 (a - 1)(b - 9) = 9,\ a > 1, b > 9, 然后将 a + b 变形。解法二: a + b = (a - 1) + (b - 9) + 10 ³ 2 (a - 1)(b - 9) + 10 = 2 9 + 10 = 16可以验证:两种解法的等号成立的条件均为 a = 4, b = 12 。此类题型可扩展为:设 a1、a2、a3 均为正数,且 a1 + a2 + a3 = m ,求 S =1a1+1a2+1a3的最小值。S =1m(a1 + a2 + a3 )(1a1+1a2+1a3)[3 + ( 2 + 1 ) + ( 3 + 1 ) + ( 3 + 2 )]=1ma1 a2 a1 a3 a2 a3a a a a a a³1m(3 + 2 + 2 +