不定积分计算方法.doc

教学目的:掌握定积分的有关概念和基本性质 难点:无限细分和累积的思维方法重点:微元法思想和定积分的基本性质教学内容:定积分是微积分学的重要内容之一,它和上一章讨论的不定积分有着密切的内在联系,并且,,我们将在具体实例的基础上引入定积分的概念,然后讨论它的性质、、问题的提出1、曲边梯形的面积在初等数学中,我们学****了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)“曲边”,我们怎样来计算它们的面积呢?=x0x1x2xi-1xixn-1xn=bxiOxnx1x2y=f(x)、、轴所围成的图形称为曲边梯形(如图).为讨论方便,,整个曲边梯形各处的高不相等,,先将区间分成个小区间,,将整个曲边梯形分成个小曲边梯形,,故当很小时,,则可认为第个小曲边梯形的平均高度为,因此,,再求和,:对区间所作的分划越细,,则当时,,所求面积.(1)2、变速直线运动的路程设物体作直线运动,速度是时间的连续函数,,,当的变化很小时,速度的变化也非常小,因此在很小的一段时间内,,所以,可以与前述面积问题一样,采用分划、局部近似、求和、取极限的方法来求变速直线运动的路程.(1)分割:用分点将时间区间分成个小区间,其中第个时间段的长度为,物体在此时间段内经过的路程为.(2)求近似:当很小时,在上任取一点,以来替代上各时刻的速度,则.(3)求和:在每个小区间上用同样的方法求得路程的近似值,再求和,得.(4)取极限:令,则当时,上式右端的和式作为近似值的误差会趋于0,因此.(2)以上两个例子尽管来自不同领域,,在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中,都会出现这种形式的极限,因此,、定积分的定义定义设函数在区间上有定义,任意用分点将分成个小区间,用表示第个小区间的长度,在上任取一点,作乘积,.,上式的极限存在,则称函数在区间上可积,并称此极限值为在上的定积分,.(3)其中称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量,称为积分区间,,若变速直线运动的速度为,则在时间区间上,物体经过的路程为.(4)同理,上图所示的曲边梯形面积可表为(5)对于由(3)式定义的定积分,需作如下几点说明:1、在可积,是指不管对区间分划的方式怎样,也不管点在小区间上如何选取,只要,?可以证明(证明略):定理在闭区间上连续的函数必在上可积;、定积分是一个数,只取决于被积函数与积分区间,而与积分变量的记号无关,,因为对非负函数,这三个积分表示同一个平面图形的面积,只是坐标变量的记号不同而已,、定义定积分时已假定下限小于上限,为便于应用,规定当时,..此规定说明:将积分上下限互换时,、下面讨论定积分的几何意义:(1)、若,则积分表示如图所示的曲边梯形的面积,即.(2)、若,则积分表示如图所示的曲边梯形面积的负值,=f(x)baOyxy=f(x)baOyx这是显然的,因为此时曲边梯形各点处的高是而不是.(3)、如果在上的值有正也有负,如下图,则积分表示介于轴、曲线及直线y=f(x):.;.三、定积分的基本性质以下介绍定积分的基本性质,假定所列定积分都是存在的,(为常数).性质3不论三点的相互位置如何,