第一章 矢量分析与场论基础.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse蒀第一章矢量分析与场论基础蝿芆内容提要羇蒂正交曲线坐标系:膁设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义:罿莃在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为薃芀蒈膃莀式中、、代表循环量1、2、3,,,称拉梅系数。莈袈三种坐标系中坐标单位矢量间的关系:袄莂柱坐标与直角坐标螀芇蚄球坐标与柱坐标蒃衿蚆球坐标与直角坐标莄芁矢量及其运算:芁直角坐标中算符的定义:膆膅一个标量函数的梯度为:莂荿梯度给出了一点上函数随距离变化的最大速率,它指向增大的方向。衿袅一个矢量穿过一个曲面的通量为莃蒈对一个闭合曲面而言,向外为正。艿蚆直角坐标系中的散度膁袀表示在这一点上每单位体积向外发散的的通量。蚈莆散度定理:节罿其中是由所包围的体积。肇肆斯托克斯定理:芄莁其中是由所包围的面积。薇袇直角坐标系中的旋度肁葿羆拉普拉辛是梯度的散度莃在直角坐标系中:膂薈一个矢量的拉普拉辛定义为:莅肃其它坐标也可写成:膄羀柱坐标系中聿螄羁肈蒈薄肂莁羈球坐标系中芅膄葿莇肅羁袂螆螅亥姆霍兹定理:羂矢量场可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和羀芆其中薆肄肈因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究衿芆函数袁定义:蒁莈性质a)偶函数:肆b)取样性:袃蕿有机会用到的表达式:螈蒃羄证明:羁***=18+6-24芃=0螁说明相互垂直肀蚇空白羃螃证明:膈肆说明相互垂直螄袄解:薁当坐标变量沿坐标轴由增至时,相应的线元矢量为:蒅蒄=蚁=虿其中弧长腿其中芅螃肁令薈则羅薀解:膀(1)据算子的微分性质,并按乘积的微分法则,有肇蚅其中、暂时视为常矢,再根据二重矢量积公式薂芈将上式右端项的常矢轮换到的前面,使变矢都留在的后面蒇蒆蚃则蚀袆除去下标c即可膆蒀(2)利用(1)式的结果即可。蝿(3)据算子的微分性质,并按乘积的微分法则,有芆羇再算子的矢量性,并据公式蒂膁将常矢轮换到的前面罿莃薃代入得:芀蒈膃莀莈证:袈袄莂螀证:芇右边第一项的分量蚄同理蒃衿则肂螀